Рассмотрим какой-нибудь
вариант формального
построения волшебной сказки. Пусть S1
- колдун, об-
ладатель волшебного меча, запрет;
S2 - красавица,
муж; Н - старик-даритель. Выберем
построение сказ-
ки по формулам
{S2="*S1;
* (S2="*S1); {(S2="* Н);
*(S2 =" *H)}; {(S1=" *S2); *(S1="*S2)}
Выбираем варианты отрицаний отрицаний. Получаем
возможную последовательность действий:
S2="*S1; S1="*S2; S2="*H; H =" **H
и H ="S2;
S1="*S2; S2="*S1 и S2="**S2.
Как может звучать
такая сказка? Надо только
уточнить, какие атрибуты отрицаются.
По этой инфор-
мации однозначно восстанавлива. тся сами действия.
Красавица нарушила запрет.
Колдун унес ее за
тридевять земель. Юноша встретил
старика и помог
ему. Старик дал юноше волшебный
меч и указал до-
рогу к колдуну. Колдун пытается
убить юношу вол-
шебным мечом. Юноша сам
своим волшебным мечом
убивает колдуна и возвращается
с красавицей-женой
домой.
В векторной форме волшебная
система в этом ска-
зочном варианте задается начальным
вектором, изо-
браженным на рис. 7.
Изменения представляющего
атрибутного вектора колдуна
будут следующие:
(0, 1, 1, 1) ="(1, 0, 1, 1) =" (1, 0, 1, 0) =" (0, 0, 0, 0). Движение
системы "колдун" выражается
постепенным обнуле-
нием всех координат представляющего
вектора, соот-
ветствующих потере атрибутов по ходу
сюжета. В кон-
це от колдуна остаются одни нули - все его
функции
исчерпаны.
Часто волшебным средством можно
воспользовать-
ся некоторое число раз. В этом случае в представляю-
щем векторе необходимо вводить дополнительные по-
ля выражающие количество попыток использования
средства, каждая осуществленная попытка - замеена
соответствующей еденицы на ноль. Таким образом,
битву можно представить как постепенную потерю
единиц, а существование сказочного объекта возмож-
но если он сохранил хотя бы одну единицу. Красави-
цы не умирают, а засыпают - та же смерть, но с
сохранением атрибута красоты; мертвый защитник
оживает, если он еще кому-то нужен. И только абсо-
лютные нули исчезают из волшебного мира.
В сказках и мифах возможна перестановка сюжет-
ных конструкций, составляющих элементарные едини-
цы. Например, юноша мог встретить старика и до по-
хищени. я девушки. Но нельзя переставлять элементы
внутри таких единиц - отрицание действия всегда
идет после его применения.
Каждое отрицание связано с некоторым функцио-
нальным атрибутом системы. Таких атрибутов не так
уж и много. Они уже перечислялись: мертвый, живой,
добрый, жадный, красивый, уродливый, сильный, сла-
бый, родовая связь, соседство и т.п. Сказки могут
начинаться с отрицания любого атрибута или несколь-
ких. Например, часто они начинаются со смерти отца,
у которого три сына, причем тот, кто будет героем, -
самый младший, некрасивый и глупый. Смерть отца -
это воздействиа волшебной силы, отрицающей "жи-
вое". Отрицание этого действия приводит к столкно-
вению с волшебным и получению новых положитель-
ных атрибутов. Некрасивый становится молодцем-кра-
савцем, а Иванушка-дурачок оказывается вовсе и не
таким уж дурачком.
Так как атрибутов только конечное число и у всех
народов они одинаковы, выходит, что функционально
все сказки устроены одинаково. Это не таинственный
эмпирический факт, а следствие законов мышления
и логики мира.
Интересно, что формальная математическая логи-
ка вытекает из мифологического мышления. Если дей-
ствие понимать как логическое следствие, должны
быть тождественно истинными следующие формулы,
Выражающие закон отрицания отрицания;
ЕСЛИ А =" *В ТОB=" * A
ЕСЛИ А =" *В ТОB =" * * B
ЕСЛИ А =" *В ТОB =" * A
& B =" ** B.
Для тех, кто знаком с
формальным исчислением
высказываний, не составляет труда проверить, что
в самом деле эти формулы тождественно
истинны,
т.е. являются теоремами исчисления
высказываний
Более того, добавив правило логической
транзитив-
ности, можно легко превратить их в аксиомы исчисле-
ния высказываний.
Так волшебная логика смыкается с формальной.
Законы логики придумал не Аристотель - они всегда
были в мифах и только ждали формальной системы
обозначений.
Как в физике, сказка предстает через динамиче-
ское столкновение двух систем, порождающее цеп-
ную реакцию с аннигиляцией элементарных частиц.
А может, и наш мир - та же длинная-длинная сказ-
ка, а мы, ее персонажи, в ней для того, чтобы ее рас-
сказать
*
ПАРАДОКСЫ ЯЗЫКА
"Я думаю, что все хоро-
шо", - говорит Эдип, и
эти слова священны. Они
раздаются в суровой и
конечной Вселенной чело-
века. Они учат, что это не
все, еще не все исчерпа-
но.
А. Камю. Миф о Сизифе
ЛЖЕЦ
"Это все еще остается загадкой.
Традиция приписывает ее
Евбулиду Милетскому, который прославился
тем, что сказал:
"Psevdomai" "Я лгу", что означает, что, говоря
это, он лгал.
Цицерон излагает зто так: "Если ты говоришь,
что ты лжешь,
и при этом ты говоришь правду, ты лжешь.
Но если ты гово-
ришь, что ты лжешь, и при этом ты лжешь, ты говоришь
правду".
Размышления над загадкой Лжеца
привели Филета Косского
к роковому концу, что явствует из следующей
эпитафии: "Пут-
ник! Я, Филет из Кос. Загадка Лжеца - причина моей гибели... "
/53
Так он дал посмертную, а главное, свободную
от дейктического
выражения "объективную версию" знаменитого софизма.
Единственное высказывание, создающее
"объективную вер-
сию", которое не запечатлено над его могилой,
это следующее:
"Выгравированное над могилой Филета
высказывание ложно".
представьте эту надгробную надпись: если она истинна, то ложна,
так как сама об этом заявляет; если она
ложна, то истинна,
так как сама говорит противоположное.
- - - - - - - - - -
/53 Филет из Кос - элегический поэт 1V в. до н. э., автор сло-
варя и компиляций, которому истории логики, такие, как Mates
и
Bochenski, да и сам Тарский вслед за Mates
создали репутацию
отчаявшегося и проклятого логика, ссылаясь
на Афенея ("Пир
софистов", IX, 40IЕ). Но манера, в какой Афеней
сообщает об
этом, позволяет думать, что он едва ли принимал это
всерьез. -
прим. Ф. Де Роулена.
Итак, все повторяется.
От греков до Рассела
и Тарского загадка лжеца цитируется
вновь и вновь. Знаменитое свидетельство Епименида, жителя
Кри-
та: "Все жители Крита лжецы, скверные животные,
ленивые утро-
бы" конечно пошло, но оно вдруг открыло новую форму этого
парадокса.
Святой Поль, излагая
его в экстралогических целях, добав-
ляет: "Это свидетельство истинно. Даже
не принимая во внима-
ние "скверных животных" и "ленивые
утробы", учтите, что это
высказывание должно быть ложным и
что вместе с тем, согласно
Епимениду, любой житель Крита говорит
правду, - вы опять ока-
зываетесь перед парадоксом" /54.
Как видим, антиномия /55 "Лжец" играла значительную
роль в философских системах античных софистов.
Много внимания этому парадоксу уделял Платон. На-
пример, в раннем сократическом диалоге "Евтидем"
он пишет:
"Что ты имеешь в
виду, Дионисодор? Не в первый раз, но от
многих и часто слышал я это
рассуждение и всякий раз удив-
лялся. Ведь и ученики Протагора
/56 всячески пользовались им,
и старшее поколение тоже. Мне
же оно кажется странным и ни-
спровергающим как другие рассуждения,
так и само себя. Но я
полагаю, что лучше всего убедишь
меня в его истинности имен-
но ты. Значит, ложь произнести нельзя
(ведь именно в этом сила
данного рассуждения, не
так ли? ) и говорящий может либо
говорить правду, либо молчать?
Дионисодор подтвердил это" /57.
В рамках обыденного универсального естественно-
го языка парадокс лжеца и не может иметь решения.
Дело в том, что понятие истинности определяется се-
мантической интерпретацией, которая неявно присут-
ствует в высказывнии "Я лгу". Но что представляет
собой такая интерпретация для естественного языка?
Здесь надо опираться на знание мира, а это знание
непостоянно, зависит от интерпретирующего человека
- - - - -
/54 Роулен де Филипп. Лжец
(0 теории истины Тарского) //
Логико-семантический анализ структур знания:
Основания и при-
менения. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1989. - С. 93-94.
/53 Антиномия - логическое
высказывание, обладающее сле-
дующим свойством противоречивости. Если
А истинно, то из этого
выводится, что А ложно, если А
ложно, то следует, что А ис-
тинно.
/55 Протагор из Абдер (480 - 410
до н. э. ), один из основате-
лей софистики. Ему принадлежат
слова "0 богах я не могу
утверждать ни что они существуют,
ни что их нет", а также
знаменитое изречение "Человек есть
мера всех вещей, сущест-
вующих, что они существуют, и
не существующих, что они не
существуют". В 40-е годы V в.
до н. э. прибыл в Афины, имел
успех как учитель риторики и философ,
был обвинен властями в
вольнодумстве, бежал на Сицилию, погиб в бурю.
/57 Платон. Диалоги. - М.; Мысль, 1986. - С. 131.
и может меняться от ситуации к ситуации. Интерпре-
тация выходит за рамки формализма языка. Вот по-
чему парадокс лжеца не может иметь
решения в
этом же языке.
Аналогичная ситуация возникает и для формаль-
ных языков логики, являющихся лишь сложными,
но
слабыми подобиями естественного языка. Здесь также
необходимо решить проблему структурного определе-
ния истинности.
Решение антиномии "Лжец"
для формальных язы-
ков предложили английский философ
и логик Б. Рас-
сел в 1908 г. и польский логик
А. Тарский в 1931 г.
Они заметили, что следует
различать уровни языка.
Так, имя выражения имеет уже другой, более высокий
уровень по отношению к
самому выражению. Рассел
построил теорию иерархических типов.
Тарский пред-
дожил различать язык-объект
и метаязык, на кото-
ром проводятся рассуждения
относительно языка-объ-
екта. Здесь понятие истинности
для высказываний
языка-объекта относится к метаязыку
более высокого
уровня.
"Также доказано, что любое удовлетворительное определение
понятия истинности для объекта-языка конечного класса, содер-
жащего арифметическую репрезентацию, может проявиться только
в метаязыке высшего класса: представить противоположное -
это
значит так или иначе столкнуться с парадоксом типа "Лжец" /58.
В 1931 г. логик К.
Гедель доказал знаменитую тео-
рему о неполноте. В ней утверждается,
что любая не-
противоречивая формальная
теория, включающая
арифметику целых чисел,
неполна. Иначе говоря,
в этой теории существует
имеющее смысл утвержде-
ние, которое средствами самой теории
невозможно ни
доказать, ни опровергнуть. То, что
с ужасом предчув-
ствовали пифагорейцы, пытавшиеся
весь мир свести
к числам, свершилось.
Модификацию парадокса
"Лжец" используют и
для доказательства
существования алгоритмически
неразрешимых проблем. Схема
рассуждений в этом
случае такова. Пусть имеется некоторый
язык, в ко-
тором задаются алгоритмы.
Предположим для про-
стоты, что алгоритмы -
это некоторые математиче-
ские машины, перерабатывающие
входную информа-
цию в дискретные такты времени.
Это могут быть ма-
шины Тьюринга или другие
преобразователи. Такое
- - - - -
/58 Роулен де Филилп. Лжец. - С. 112.
предположение не нарушает общности.
Язык опреде-
ляет правила строгого описания таких
машин. Проб-
лема считается алгоритмически разрешимой,
если су-
ществует алгоритм (машина, задаваемая
в рассмат-
риваемом языке), который за конечное
число тактов
работы отвечает на вопрос проблемы. В
этом случае
вместо человеческого "Я лгу" алгоритм
заставляют
"говорить" другие машинные варианты
этой фразы,
например "Я никогда не останавливаюсь",
что озна-
чает, что при любом входе алгоритм работает
беско-
нечно долго. Предполагая, что свойство
"Я никогда
не останавливаюсь" в классе всех алгоритмов
распо-
знаваемо каким-то конкретным алгоритмом,
заставив
этот алгоритм рассматривать самого себя,
опять бы-
стро получим ситуацию антиномии
"Лжец". Отсюда
следует, что такого алгоритма не существует, т.е. по-
лучим доказательство существования
неразрешимости
проверки некоторых свойств в классе алгоритмов.
