действительности же свойства пространства (евклидовость)
практически предопределяют классическую динамику.
Ограничимся (как условились ранее) анализом системы
двух тел, одно из которых будем полагать телом отсчета,
а другое материальной точкой, положение которой
характеризуется вектором r и временем t. Из определения
инерциальной системы отсчета следует, что они являются
единственной привилегированной системой отсчета, поскольку
она отражает наиболее общие свойства пространства -
изотропию и однородность. Для системы двух тел существует
единственное выделенное направление - вектор r, соединяющий
тело отсчета и материальную точку.` Поэтому все динамические
и кинематические величины будут направлены вдоль вектора r.
Обозначим меру воздействия на материальную точку символом Ф.
По определению, воздействие, а следовательно и сила,
инвариантно относительно равномерного движения инерциальной
системы. Поскольку существует единственное выделенное
направление r, то функция Ф определяется вектором r или его
производными dr/dt, d**2 r/dt**2, d**3 r/dt**3...
(предполагается, что они параллельны). Действие в принципе
может зависеть от констант m|, m|,... , характеризующих
1 2
материальную точку
dr d**2 r
Ф = Ф (m|, m|, ... , r, ---- , -------- , ...) . (14)
1 2 dt dt**2
Однако при учете свойств инерциальной системы это выражение
сильно упрощается. Действительно, в общем случае аргументы r
и v = dr/dt исключаются вследствие эквивалентности
инерциальных систем. Всегда можно выбрать систему, в которой
в данный момент v=0. Производные высших порядков:
d**3 r/dt**3, d**4 r/dt**4,... в общем виде также не могут
определять движение, поскольку в этом случае, помимо
выделенного класса систем отсчета (соответствующего
v=const), существовали бы и другие привилегированные системы
отсчета, удовлетворяющие условиям a = d**2 r/dt**2=const или
b = d**3 r/dt**3=const и т.д. Поскольку рассматривается
материальная точка, то естественно допустить, что она
характеризуется единым параметром m=m|. Поэтому (14) можно
1
записать в форме
d**2 r
Ф = Ф (m , -------- ) . (15)
dt**2
Величина m - внутренняя характеристика тела, вторая
производная d**2 r/dt**2 определяется взаиморасположением
тела отсчета и материальной точки. В рамках ньютоновской
механики обе величины абсолютно независимы. Поэтому
естественно предположить, что они входят в выражение (14) в
виде произведения
d**2 r
Ф = Ф (m -------- ) . (16)
dt**2
Назовем силой функцию F, обратную функции Ф, тогда получаем
основной закон
d**2 r
F = m -------- . (17)
dt**2
------------------------------------------------------------
` Строго говоря, здесь пренебрегается возможным вращением
системы. Обобщение рассуждений, учитывающих вращение, не
представляет трудностей.
------------------------------------------------------------
Из свойств пространства вытекают характеристики
дальнодействующих сил, составляющих основу классической
механики.
Назовем дальнодействующими (макроскопическими) силами
такие воздействия, которые в статическом случае (т.е. когда
тело отсчета неподвижно) можно характеризовать силовыми
линиями, начинающимися в теле отсчета, но не изменяющимися в
пустом пространстве. Иными словами, в пустом пространстве
силовые линии - прямые. Если же силовые пересекают
материальную точку, то они взаимодействуют с ней, прекращая
свое существование.
Заметим, что "прямолинейность" силовых линий -
нетривиальное допущение, которое характерно исключительно
для дальнодействующих сил. Для микроскопических
взаимодействий силовые линии либо запутываются,
взаимодействую друг с другом, утрачивая прямолинейность
(сильное взаимодействие), либо обрываются (слабое
взаимодействие). На современном языке необходимыми и
достаточными условиями дальнодействия сил являются
неравенства
ALPHA << 1, m| = 0 ,
c
где ALPHA - безразмерная константа взаимодействия, m| -
c
массам обменной частицы (см. Дополнение). Далее в этом
разделе ограничимся исключительно дальнодействующими
макроскопическими силами.
Поскольку силовое воздействие является точечным и
осуществляется в месте расположения материальной точки, то
единственная характеристика сил, обусловленная этим
расположением, есть плотность d силовых линий. Поэтому сила,
действующая на материальную точку, пропорциональна плотности
силовых линий: F~d. Но в силу изотропии и однородности
пространства полное число силовых линий неизменно, а
плотность силовых линий неизменно, а плотность силовых линий
макроскопического взаимодействия обратно пропорциональна
площади сферы с центром, расположенным в начале координат
(теле отсчета). Эта сфера проходит через материальную точку.
поскольку площадь сферы в трехмерном евклидовом пространстве
пропорциональна r**2 (r - расстояние между телом отсчета и
материальной точкой), то
F~1/r**2. (19)
Мы получили выражение для макроскопических сил: силы Кулона
и силы Ньютона.
Таким образом, оба закона - следствие особых свойств
трехмерного евклидова пространства.
Следовательно, как механика Ньютона, так и выражение
для статических (классических) сил зависят от свойств
пространства. Подчеркнем, что, несмотря на демонстрацию
тесной связи основ динамики и свойств пространства, нельзя
полностью свести физику к логическим умозаключениям,
основанным не геометрии. Разумеется, лишь опыт может
позволить заключить о макроскопичности данного типа сил.
Можно (как это происходило в действительности) на опыте
измерить зависимость (19), на более современном уровне
установить соотношения (18), которые также являются
следствием экспериментов.
Однако общие соотношения отражают свойства
пространства, и наша цель - демонстрация тесной связи этих
свойств и простейшей динамики.
4. ПРОСТРАНСТВО
СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО)
Теории относительности посвящено огромное число книг,
написанных на разных уровнях. Поэтому нецелесообразно
представлять здесь систематическое изложение этой теории.
Идея этого и следующего разделов несколько скромнее:
очертить лаконично идею взаимосвязи геометрии и динамики,
обусловленную созданием теории относительности, которая
изменила сам стиль этой взаимосвязи. Ранее (в ньютоновской
механике) эта взаимосвязь проявлялась как бы неявно: в
определении инерциальной системы, мельком упоминалась при
выводу законов сохранения и т.д. После утверждения теории
относительности единство геометрии и динамики стало
краеугольным камнем физики.
Специальная теория относительности базируется на двух
постулатах.
1. Существует класс эквивалентных инерциальных систем
отсчета. (Этот постулат оправдывается свойствами
пространства: изотропией и однородностью.)
2. Скорость света в пустоте постоянна и не зависит от
движения его источника или приемника.
К этому постулату, выдвинутому А.Эйнштейном в 1905 г.,
мы привыкли. А привычка часто является синонимом
тривиальности. В действительности он связан с двумя
нетривиальными допущениями. Во-первых, скорость света c не
подчиняется обычному классическому правилу сложения
скоростей: v| = v| + v| (v| - суммарная скорость, v| -
3 2 1 3 1
скорость источника, v| - скорость испущенной материи, в
2
данном случае скорость света). И, во-вторых, этот постулат
также связан с утверждением об евклидовости пространства.
Отсутствие однородности или неизотропия пространства также
привели бы к его нарушению. Физической иллюстрацией
возможности подобного нарушения евклидовости является
существование макроскопических тел и сильных (>=10**13 Гс)
электромагнитных полей. В областях, где находятся эти
объекты, скорость света отличны от c. Поэтому при
формулировании второго постулата особо подчеркивается
свойство среды, в которой распространяется свет (пустота).
Верные традиции этой книги, мы остановимся на простейшей
системе, состоящей из тела отсчета и материальной точки
(пробного тела).
В математическом плане второй постулат специальной
теории заключается в том, что время распространения света t
между началом координат O и точкой (x, y, z) определяется
уравнением
(ct)**2 - x**2 - y**2 - z**2 = 0 (20)
или в дифференциальной форме
(cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = 0 (21)
Соотношения (20) и (21) кардинально отличаются от связи
между пространством и временем в классической физике (см.
(12)). В последнем соотношении пространственные и временные
координаты выступают как независимые переменные. Равенства
(20) и (21) жестко связывают пространство и время.
Пространство и время образуют единый физико-математический
континуум. Иногда (особенно в период ранних дискуссий о
теории относительности) наиболее ревностные ее апологеты
утверждали, что Эйнштейн и Минковский полностью уравняли
пространство и время. Это утверждение неверно. В
соотношениях (20) и (21) временная и пространственные
координаты выступают с разными знаками, что отражает их
фундаментальное различие: время (в отличие от пространства)
- направленный вектор: существует принцип причинности,
различающий будущее и прошлое.
В соответствии с обозначениями дифференциальной
геометрии выражение (21) записывается в форме
ds**2 = (cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = 0 (22)
Второй постулат теории относительности можно
сформулировать на геометрическом языке как утверждение, что
для света (в пустоте) интервал ds**2 инвариантен
относительно вращений и трансляций в 4-мерном континууме
пространства-времени.
Инвариантность интервала ds**2 нетрудно обобщить и на
случай тела и системы отсчета, движущейся со скоростью v/=c.
Из опыта известно, что скорость света в пустоте максимальна.
Поэтому это неравенство следует уточнить так: v c
выполняется (22), то и в общем случае ds и ds' могут
отличаться лишь постоянным множителем. Из изотропии и
однородности пространства следует, что этот множитель равен
1`. Следовательно, интервал
ds**2 = (cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = const (23)
относительно вращений и трансляций.
------------------------------------------------------------
` Подробнее доказательство этого утверждения представлено в
кн.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 6-е изд. М.:
Наука, 1973, С.16.
------------------------------------------------------------
