евклидовой пропорционально некой величине, называемой
кривизной. Несколько огрубленно можно сказать, что кривизна
(количественная мера отклонения поверхности от евклидовой) -
оптимальная аппроксимация малого участка поверхности набором
окружностей разных радиусов. Число этих окружностей растет с
ростом размерности поверхности. Однако существуют
симметричные поверхности - пространства, для которых
кривизна характеризуется меньшим числом компонент. Так, для
сферы кривизна R - однокомпонентная величина.
R~1/r**2, (7)
где R - радиус сферы.
На примере сферы становится ясным, что с уменьшением
кривизны или увеличением размеров поверхность локально
приближается к евклидову пространству. Такое приближение
реализуется и в более общем случае, когда все компоненты
кривизны уменьшаются.
Сфера не является единственной поверхностью с
постоянной кривизной. Пример другой такой поверхности -
пространство Лобачевского, образованное вращением гиперболы.
Существует, однако, существенная разница между сферой и
пространством Лобачевского. Кривизна сферы положительна,
кривизна пространства Лобачевского имеет отрицательный знак.
Пространство Евклида - единственное, характеризуемое
постоянной, но нулевой кривизной.
И еще одно замечание. Ранее отмечалось, что
характеристика неевклидовости двумерных плоскостей -
отклонение суммы углов треугольника от PI. Говоря о
проведении треугольника на произвольной поверхности, мы
молчаливо подразумевали возможность единственного проведения
прямых на поверхности в смысле Евклида (прямая - кратчайшее
расстояние). Однако в общем случае между двумя точками
поверхности можно провести несколько кратчайших расстояний.
Эта неоднозначность устраняется, если выбирается достаточно
малый участок поверхности.
Отметим (ввиду важности утверждения) снова, что в малом
участке можно определить евклидову систему отсчета. В малом
для гладких поверхностей имеет смысл понятие вектора и
векторного произведения, инвариантного относительно
трансляций и поворотов в пределах малого участка. Но в
отличие от евклидова пространства, в котором существует
глобальная система координат, обладающая подобными
свойствами, в общем случае существование евклидовой системы
возможно лишь в малом. По существу это утверждение имеет
простой наглядный (геометрический) смысл. Гладкую
поверхность можно аппроксимировать бесконечным набором
примыкающих малых плоскостей, расположенных друг
относительно друга под определенными углами. Характеристики
взаиморасположения микроплоскостей кривизны или связности -
понятия, которые целесообразно рассмотреть в следующем
разделе.
Последние рассуждения прямо относились к двумерным
поверхностям. Однако в рамках аналитической или
дифференциальной геометрии, когда свойства пространств
определяются числами (координатами или величинами компонент
метрического тензора или кривизны), можно с равным успехом
проводить анализ поверхностей любой целочисленной
размерности. Методы аналитической и дифференциальной
геометрии позволяют представить геометрические фигуры в
безликих арифметических терминах, и нет нужды "воображать"
сами поверхности.
Возможность оперировать с поверхностями
(пространствами) произвольной размерности исключительно
важна для понимания свойств и характеристик физического
пространства (об этом речь пойдет в следующих главах).
В заключение еще одно замечание. Утверждение, что
локально поверхность эквивалентна евклидову пространству,
означает, что в любой точке интервал можно привести к виду
N
--
ds**2 = > dx|**2 (8)
-- i
i=1
Такие поверхности называются римановыми и обладают свойством
ds**2 > 0 (положительно определенная матрица).
Теория относительности внесла коррективы в это
определение. Эта теория выдвинула идею нового типа
пространств - пространств Минковского когда интервал ds**2
может иметь оба знака (ds**2 >= 0 или ds**2 =< 0), метрика
таких пространств называется индефинитной, а сами
пространства псевдоевклидовыми.
Метрика псевдоевклидовых пространств размерности N
имеет вид:
N| N|
1 2
-- --
ds**2 = > dx|**2 - > dx|**2 (9)
-- i -- k
i=1 k=1
причем N|+N|=N. Обобщением псевдоевклидова пространства
1 2
является псевдориманово пространство, которое локально
представляется псевдоевклидовой метрикой.
7. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Уже упоминалось ранее, что точка иногда определяется
как геометрический объект, не имеющий протяженности. Поэтому
напрашивался вывод, что точка в таком понимании не имеет
структуры. Однако критический анализ основных понятий
геометрии, а также внутренние, имманентные законы развития
дифференциальной геометрии стимулировали создание и развитие
нового математического образа - расслоенного пространства.
Первые работы, в которых формировались основные понятия
расслоенных пространств и их связи с другими разделами
математики, относятся к 30 - 50-м годам и принадлежат
выдающимся математикам: Э.Картану, Х.Уитни, Ш.Эресману,
Ш.Черну.
Вначале казалось, что этой новой ветви математики
уготована участь многих ее разделов: служить красивой
абстракцией, не связанной с физической реальностью.
Основания для подобных прогнозов были. Фундаментальное
понятие точки у расслоенных пространств отличалось от
интуитивного образа бесструктурной точки. Однако эволюция
физики, и в первую очередь квантовой теории поля, физики
элементарных частиц и космологии, привела к сближению
представлений о точках в физике и расслоенных пространствах.
Постепенно начал вырисовываться абрис синтеза
фундаментальной физики и геометрии на базе расслоенных
пространств. По нашему мнению, можно высказать и более
сильное утверждение: существует "истинное" физическое
пространство, которое реализуется в терминах расслоенных
пространств.
Если такая несколько претенциозная формулировка
выглядит экстремистской, то более ограниченное утверждение:
объединенная теория взаимодействий допускает геометрическую
интерпретацию на базы расслоенных пространств - кажется
бесспорным. Необходимость такого заключения оказалась для
физики несколько неожиданной. Даже творцы теории
элементарных частиц оказались неподготовленными к вторжению
математики расслоенных пространств в физику. В этом аспекте
характерен диалог физика Ч.Янга с одним из основоположников
геометрии расслоенных пространств Ш.Черном.
Янг: "Это (расслоенные пространства. - И.Р.) приводит в
трепет и изумление, поскольку вы, математики, выдумали эти
понятия из ничего".
Черн: "Нет, нет! Эти понятия вовсе не выдуманы. Они
существуют на самом деле".'
------------------------------------------------------------
' Янг Ч. Эйнштейн и физика второй половины XX века // УФН.
1980. Т.132. С.174. О расслоенных пространствах см. также
ст.: Даниэль С., Виалле М. Геометрический подход к
калибровочным теориям типа Янга - Миллса // УФН, 1982.
Т.136. С.377-420; Бернстейн Г., Филлипс Э. Расслоения и
квантовая теория // УФН. 1982. Т.136. С.665-692.
------------------------------------------------------------
Этот диалог весьма примечателен. Математики часто
строят конструкции, кажущиеся физикам абстрактными, не
связанными с физическими ценностями. Разные подходы
математиков и физиков приводят к недооценке адекватности
некоторых "абстрактных" математических методов физическим
проблемам. В результате эти методы заново переоткрываются
физиками. Пожалуй, классический пример подобной ситуации -
переоткрытие В.Гейзенбергом в 1925г. матричного исчисления,
которое он использовал для создания квантовой механики. Лишь
после бесед с М.Борном он узнал, что теория матриц - хорошо
разработанный раздел математики практически не используемый
физиками.
После этих предварительных замечаний целесообразно
перейти к изложению основных идей геометрии расслоенных
пространств. Начнем с представления основных образов
(картин) расслоенных пространств.
Первый связан с обобщением понятия точки. Точка в
расслоенном пространстве эквивалентна автономному
пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что
точка в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле
Евклида (объект, лишенный протяжения), к которой
"прикреплено" (или лучше: которой соответствует) свое
пространство. Можно представить расслоенное пространство в
целом. Оно представляет совокупность большого числа (как
правило, бесконечного множества) пространств, из которых
одно, называемое базой, играет особую роль. Каждая точка
этого пространства взаимно однозначно связана со своим
пространством, называемым слоем над базой. Каждой точке в
базе соответствует свое пространство (слой), отражающий
структуру точки.
Приведем некоторые простейшие примеры расслоенных
пространств. Пусть база - прямая, т.е. евклидово одномерное
1
пространство' R|. Каждой точке базы - прямой - соответствует
1
окружность S|, расположенная в плоскости, перпендикулярной
базе, центром которой является данная точка базы. Радиусы
всех окружностей одинаковы. Расслоенное пространство
определено однозначно. В данном случае размерности слоев и
базы одинаковы и равны 1. Полное расслоение пространства
представляет цилиндр и его ось.
------------------------------------------------------------
' Символом R часто обозначают риманово пространство, частным
случаем которого является пространство Евклида. Индекс
вверху обозначает размерность пространства . Символ S
1
соответствует сферическим пространствам: S| - окружность,
2
S| - двумерная сфера и т.д.
------------------------------------------------------------
Можно привести пример расслоенного пространства, в
котором размерности базы и слоев различны. Пусть база -
3
трехмерное евклидово пространство R|, а слои - двумерные
2
сферы S|.
Подчеркнем принципиальную разницу между обоими
примерами. В первом случае и слой и база - одномерные
фигуры. Полное расслоенное пространство - фигура трехмерная
(цилиндр+прямая), и ее нетрудно вообразить воочию.
Второй пример расслоенного пространства не поддается
такой наглядной интерпретации. Каждый его элемент - сфера с
точкой базы в центре. Однако совокупное расслоенное
пространство имеет пять измерений. Представление о нем как о
множестве сфер, расположенных в трехмерном пространстве,
неправильно. Слои-сферы находятся в дополнительных
измерениях, и поэтому расслоенное пространство в целом
нельзя изобразить адекватно на бумажном листе. Представление
пространства доступно лишь с помощью аналитических методов.
===РИС.1
===РИС.2
В простейшем случае точки базы и слоев - действительные
числа. Можно представить, что пространство слоев состоит из
точек - мнимых чисел. Например, можно представить себе слой
в виде сферы, каждая точка которого - мнимое число.
