обсуждение затронутых им вопросов.
ГЛАВА 1. Г Е О М Е Т Р И Я
1. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Основы эмпирической геометрии, как науки о
непосредственно наблюдаемом пространстве были заложены в
глубокой древности: в Египте, Вавилоне и Греции. Итоги
многовековых размышлений о количественных соотношениях между
видимыми, непосредственно наблюдаемыми объектами были
подведены в III в. до н.э. Евклидом. В течение почти 2.5
тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов
школьной математики. практически в неизменной форме она
дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта
физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда
вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия
базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в
методике изложения.
В чем причины поразительной живучести евклидовой
геометрии? На наш взгляд, ответ на этот вопрос многозначен.
Во-первых, она хорошо отображает простейшие количественные
отношения форм реальных объектов, во-вторых, евклидову
геометрию характеризует поражающая логичность и методическая
завершенность, наконец, евклидова геометрия является
превосходной основой для воспитания логического мышления на
общедоступных примерах, имеющих широкие практические
приложения.
Поучительно подробнее разобрать приведенные аргументы.
Геометрия (как указывает ее название) родилась из
практических задач - измерения площадей земельных участков.
Например, простейший вопрос об отношении площадей круга и
квадрата нельзя решить без помощи геометрии (в рамках
элементарной математики). Именно задачи о сравнении площадей
земельных участков очень часто приходилось решать древним
геометрам.
Отметим, что актуальность решения подобных задач
сохраняется и поныне. Можно с уверенностью сказать, что
читатель сталкивается с вопросом о длинах, площадях и
объемах различных предметов. Основные понятия геометрии
Евклида прочно вошли в нашу жизнь. Образы точки (например, в
письме), плоскости (стены комнат) и объемов )дома, в которых
мы живем) - наша повседневная действительность.
Евклид (точнее, его геометрия) в достаточно общем виде
решил одну из важнейших практических проблем:
количественного сравнения реальных объектов с разными
формами. Созданная им геометрия была облечена в столь
безукоризненную изящную форму, что актуальная для
современности проблема "практического внедрения" была решена
без задержек.
Несомненно, что "живучести" геометрии Евклида и ее
быстрому "внедрению" способствовала ее адекватность
кинематике абсолютно твердых тел. Неизменность их формы при
перемещениях оптимально описывается в рамках евклидовой
геометрии.
Подчеркнем далее, что вместе с геометрией Евклида в
математику пришла абстракция. Для геометрии (по крайней мере
в ее привычной формулировке) безразлично, сравниваются ли,
например, объемы однородных предметов (двух комнат) или
различных (например, гаража и автомашины). Геометрия как
часть математики отвлекается от сущности объекта
исследования. И в этой особенности имеются как сильные, так
и слабые стороны.
Сила традиционной геометрии - в ее общности,
универсальности. Слабость - в абстрагировании, создающем
предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии,
размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными
объектами, явлениями или процессами. До определенного
времени этому обстоятельству не придавали серьезного
значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию
критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая
сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая
точная и, по-видимому, самая наглядная наука - геометрия -
базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям.
Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить
некоторые "школьные" истины.
Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова:
"Точка - объект, лишенный протяженности, линия - объект,
характеризуемый длиной, но лишенный ширины" - и затем
иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку
и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина
линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение в
значительной степени базируется на авторитете учителя.
Если постараться, можно, используя тонкое перо, свести
размеры "точки" или "ширины" линии до ~0.1 мм, но и эта
величина не соответствует геометрическому определению точки
или линии.
Опираясь на весьма тонкие оптические методы, можно
уменьшить размеры точки до 10**-10 см. Данные о рассеянии
некоторых элементарных частиц свидетельствуют, что их
размеры ~<10**-16 см. Однако и в этом случае не исчезает
"проклятый" вопрос: можно ли объекты, характеризуемые столь
малыми величинами, полагать "точками"?
Те же трудности возникают при попытках эмпирически
воспроизвести другое основное понятие геометрии - прямую
линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч
света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в
соответствии с основными принципами оптики и квантовой
механики ширина пучка света по порядку величины равна длине
волны LAM, а это значение невозможно свести к нулю.
Но главная проблема, пожалуй, не в конечности величины
LAM. Положение о прямолинейности распространения света в
пустоте (даже в пренебрежении значением LAM) само является
лишь постулатом, требующим независимого доказательства. В
нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая
позволила бы проверить прямолинейность распространения
светового луча. Следовательно, это утверждение имеет лишь
полуинтуитивное обоснование, основанное на том эмпирическом
факте, что в нашем распоряжении нет других методов,
позволивших прочертить абсолютно прямую линию между двумя
точками. Однако даже это свойство света не гарантирует его
прямолинейность. Допустим, что пространство имеет форму
сферы. Кратчайшее расстояние на сфере - отрезок большого
круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому утверждение:
световой луч прочерчивает прямую эквивалентно тезису: наше
пространство плоское, евклидово. А этот тезис сам нуждается
в эмпирическом образовании.
К этому вопросу мы далее будем неоднократно
возвращаться.
2. ГЕОМЕТРИЯ
КАК ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ДИСЦИПЛИНА
До конца 20-х годов прошлого столетия евклидова
геометрия казалась незыблемой и единственной теорией
пространства.
В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью "О началах
геометрии". В этой статье, так же как и в письмо молодого
венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу,
утверждалось, что возможно построение непротиворечивой
геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой
геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую
вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую,
параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее
очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии.
Однако попытки вывести его из других аксиом оканчивались
всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь - построение
геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида,
но в которой был заменен пятый постулат о параллельных:
через одну точку можно провести либо бесконечное множество
прямых, параллельных данной, либо ни одной.
Кажется не лишенным интереса следующий вопрос: почему в
течение тысячелетий геометрия Евклида сохранялась в
первозданной форме, а затем почти одновременно три человека
подвергли ревизии одно из основных ее положений? Разумеется,
на этот вопрос нет однозначного ответа. Однако разумно
допустить, что подобное совпадение не случайно. В ревизии
геометрии свою роль сыграл психологический климат,
характерный для общественной жизни того времени, явившийся
следствием происшедших революционных потрясений и
обусловивший стремление к критическому пересмотру
канонизированных учений. Даже библейские догматы, освященные
тысячелетней верой и поддерживавшиеся авторитарностью
церкви, подверглись критическому анализу (Б.Спиноза).
Лишь геометрия Евклида оставалась каноническим учением,
но, наконец, наступила и ее очередь.
Необходимо подчеркнуть важное обстоятельство. Отрицание
пятого постулата отнюдь не означает отрицания всей
Евклидовой геометрии. Все аксиомы его геометрии и сам дух
этой науки сохранились. Но отрицание даже одного утверждения
Евклида имело далеко идущие последствия: возникла мысль, что
геометрия Евклида не единственное и не последнее слово в
геометрии. А такая мысль могла быть расценена в то время не
иначе, как ересь. (Известно, что Гаусс не опубликовал своих
исследований по основам геометрии, опасаясь непонимания со
стороны своих коллег.)
Исключительно важным следствием скепсиса в отношении
пятого постулата является постановка вопроса о необходимости
его экспериментальной проверки. Непосредственная его
проверка весьма затруднительна. Представляется даже уместным
употребить слово "невозможна". Дело в том, что если (как
отмечалось ранее) нет экспериментального критерия (прямизны)
линии, то еще более сложно реализовать эмпирически несколько
прямых и убедиться, в отсутствии их пересечения на больших
расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных
эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой
геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается
непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма
углов треугольника равна PI. Измерение углов - операция
весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения
можно проделать с относительно хорошей точностью.
Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было
продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника
от PI (при отрицании постулата о параллельных)
пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что
если провести измерения углов достаточно большого
треугольника, то нетрудно проверить истинность (или
ложность) пятого постулата. К сожалению, такой
оптимистический вывод необоснован.
Истоки трудностей предложенного метода проверки
коренятся в принципиальной неопределенности термина "большое
само по себе". В точных науках имеет смысл лишь утверждение:
"большое относительно чего-то". В упомянутом же выше
утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы
полноценное содержание в утверждение о сумме углов
треугольника.
Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках
проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из
убеждения, продиктованного античной философией: "человек -
мера всех вещей". Поэтому казалось, что достаточно выбрать
треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры
человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника
со сторонами, во много раз (10**5) превышающими размеры
человека. В результате измерений оказалось, что в пределах
экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна PI.
Следует четко понимать, что в экспериментальном подходе
в проверку пятого постулата "нет" и "да" весьма
неэквивалентны. Метод, основанный на измерении суммы углов
треугольника, может продемонстрировать отклонение от
евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную
