------------------------------------------------------------
` Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. М.:
Наука, 1973. Т.1. Механика, с.9.
------------------------------------------------------------
В этом определении центральное место занимает
физический критерий реализации "точечности" объекта.
Вероятно, в физике следовало бы все-таки во избежание
путаницы устранить термин "идеализация", заменив его на
"приближение".
Р.Фейнман (на наш взгляд, абсолютно правильно)
утверждал: "Чтобы понять физические законы, вы должны
усвоить себе раз и навсегда, что все они - в какой-то
степени приближения".`
------------------------------------------------------------
` Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир,
1965. Т.1. Современная наука о природе. Законы механики.
с.211.
------------------------------------------------------------
В физических книгах и работах обычно определяют некий
малый параметр, которым при четко определенных условиях
можно пренебречь. Как правило, приближение выражается в
форме неравенства, когда безразмерная величина, определяющая
приближение, становится малой сравнительно с единицей.
Приведем прекрасный пример приближенности теории.
Классическая механика Ньютона верна, если выполняются два
условия: v/c << 1 и HP/S << 1 (c - скорость света, v -
скорость тела, HP - постоянная Планка, S - действие).
Если же v/c ~ 1, то следует учитывать релятивистские
поправки, обусловленные теорией относительности. Если
HP/S ~ 1, то вступают в силу законы квантовой механики.
Напомним, например, что в соответствии с теорией
относительности масса M изолированной системы зависит от ее
скорости: M = M| [1-(v/c)**2]**(1/2), где M| - так
0 0
называемая масса покоя. При v/c << 1,
M ~~ M| ~- const(v) в соответствии с ньютоновской механикой.
0
Итак, основа математики - идеализация, в физике
царствует приближение. Несомненно, что сейчас такое деление
несколько условно. Дело заключалось в том, что само понятие
геометрии, предмета геометрии, несколько размылось.
Вероятно, этому расширенному толкованию геометрии следовало
бы посвятить специальную книгу и, быть может, не одну. Здесь
мы ограничимся кратким изложением авторской точки зрения на
предмет.Известный субъективизм в обсуждении основ геометрии,
по-видимому, знамение времени, обусловленное быстро
возрастающей ролью геометрии в физике. Происходит
взаимообогащение и взаимопроникновение обеих наук, что и
вызывает определенное смещение основных
физико-математических понятий. Это смещение не успевает
отслеживаться терминологией. В старые термины вкладывается
новое содержание. Отражением подобной неустойчивости или
неадекватности основных терминов и их содержания является
различие их определения даже в современных школьных
учебниках, написанных разными авторами.
По нашему мнению, сейчас сосуществуют три несколько
отличающиеся друг от друга геометрии.
Первая - математическая геометрия, предмет которой -
исследование свойств пространств безотносительно к
физической реальности.
Вторую можно условно назвать физико-математической
геометрией. В ее рамках геометрические методы используются
для устранения незамкнутости, непоследовательности
уравнений, описывающих квантовую теорию поля.
Физико-математическая геометрия непосредственно не
соприкасается с физической реальностью, однако имеет
существенное значение для построения единой
последовательной картины мира.
И наконец, последняя -- физическая геометрия, которая
является фоном для эволюции материи и ее непосредственного
описания.
Автор отлично понимает схематичность подобной
классификации, однако едва ли уместно давать в данной книге
более развернутую картину многих граней современной
геометрии.
В заключение следует подчеркнуть, что автор - физик и,
по возможности, придерживается круга понятий и терминов
физической геометрии.
4. СУЩЕСТВУЕТ ЛИ ЕДИНСТВЕННАЯ
ФИЗИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ?
На заре нашего столетия А.Пуанкаре высказал мысль,
которая сделалась впоследствии почти нарицательной: опыт не
определяет порознь физику и геометрию. Он подтверждает
суммарно физику и геометрию в их взаимосвязи. Но если
наблюдения измеряют лишь сумму, то это означает, что каждое
из слагаемых имеет определенный произвол.
Наиболее ревностные последователи Пуанкаре пошли еще
дальше, полагая, что для описания физической реальности
можно выбрать любую геометрию, а к ней уже "подогнать"
соответствующую физику так, чтобы эмпирическая "сумма"
геометрия+физика оставалась неизменной. Другими словами:
выбор физической геометрии произволен и определяется вкусом
и удобством вычислений. Абсолютная физическая геометрия
отсутствует.
Правилен ли этот тезис? По нашему мнению, полный ответ
имеет сложную диалектическую форму. Однако нельзя
согласиться с полной релятивизацией физической геометрии.
Существует, по-видимому, единственная геометрия (или,
точнее, ограниченный класс геометрий), отвечающая полному
набору наблюдений. Эта геометрия имеет сложный характер, и
ее анализу посвящены две следующие главы книги. Здесь же
следует подчеркнуть, что речь идет о полном наборе
экспериментальных фактов и основополагающих физических
принципах, а не о единичных опытных данных, интерпретировать
которые без труда можно на основе произвольной геометрии.
Выступая против релятивизации геометрии для описания
физики, автор отдает себе отчет об ответственности оппонента
такому титану, как А.Пуанкаре. Но во-первых, подобная
оппозиция направлена прежде всего против чересчур ревностных
апологетов идеи релятивизации, а во-вторых, автор имеет
мощного союзника - время. С тех пор, как Пуанкаре высказывал
свои идеи, прошло около 80 лет, и физика изменила свой лик.
Прежде всего, на наш взгляд, существенно углубилось
понимание основного объекта - точки, адекватного общим
физическим принципам. И главное: колоссально возрос
эмпирический материал, сузивший произвол в выборе геометрии.
Иначе говоря, нам представляется, что существует
естественный (хотя и сложный) класс геометрий, в рамках
которого реализуется эмпирическая основа физики - динамики.
Чтобы иллюстрировать (весьма предварительно, поскольку этому
предмету посвящена вся книга) предопределенность геометрии
эмпирическим наблюдениями, мы рассмотрим простейший пример.
Допустим вначале, что распространение света или
радиоволн в межпланетной и межзвездной средах соответствует
прямой в смысле евклидовой геометрии. Параметры межпланетной
и межзвездной сред известны, и можно показать, что они
практически не влияют на направление распространения света
или радиоволн достаточно высокой частоты. Тогда различными
методами можно весьма точно измерять расстояния до солнца,
планет или многих звезд в Галактике. Определяя затем угол
между направлениями от Земли до двух космических объектов
(например, Солнца и одной из планет), можно вычислить сумму
углов треугольника, образованного Землей и этими двумя
объектами. И всегда, независимо от природы объектов, сумма
углов оказывается в пределах небольших экспериментальных
ошибок равной PI.` Таким образом, можно было бы сделать
вывод, что по крайней мере в пределах Галактики ее геометрия
- евклидова. Этот вывод правилен, но с одной оговоркой,
которую может использовать верный последователь Пуанкаре. В
этих рассуждениях допускалось, что направление
распространения фотонов в пустоте совпадает с прямой линией.
На чем основано это утверждение? Может быть, фотоны движутся
по кривой, а само пространство также кривое и обе кривизны
взаимно компенсируют друг друга, так что в результате
получается мнимое доказательство торжества евклидовой
геометрии?
------------------------------------------------------------
` Это утверждение верно с точностью до весьма малых
релятивистских поправок, которые можно учесть при
вычислении суммы углов.
------------------------------------------------------------
Ответ на это возражение базируется на анализе
совокупности физических фактов. Так, было проделано
множество опытов по определению параллаксов различных
космических объектов, расположенных на различных расстояниях
от Земли. Всегда сумма углов оказывалась равной PI.
Причем непосредственное изучение геометрии по свойствам
космических треугольников далеко не единственный метод
определения характеристик пространства.
В физике подробно изучены различные взаимодействия:
электромагнитное (в макро- и микроскопических проявлениях) и
микроскопические (слабое и сильное). Электромагнитное
взаимодействие исследовалось в огромных интервалах
расстояний: 10**-16 - 10**13 см. Самые малые расстояния
изучались с привлечением весьма тонких методов физики
элементарных частиц. В частности, измерялись рассеяния
электронов на электронах и электронов на позитронах.
Ценность этих опытов в том, что в них проявляется
практически только одно взаимодействие - электромагнитное. В
этих и аналогичных опытах с очень большой точностью (иногда
вплоть до десятого знака) было продемонстрировано, что
законы электродинамики справедливы. Электродинамика на самых
больших расстояниях проверялась с меньшей точностью
(радиолокация Солнца и планет, электродинамика Солнца).
Разумеется, с существенно большей точностью электродинамика
проверена в масштабах Земли (~10**9 см).
Законы микроскопических взаимодействий (слабого и
сильного) на малых расстояниях (10**-16 - 10**-13 см) также
хорошо (хотя и с меньшей точностью - до второго - пятого
знака) подтверждены опытом.
Когда здесь упоминались законы взаимодействий, то они,
разумеется, понимались как совокупность динамических
уравнений и геометрии пространства, в котором существуют
материальные точки. Во всех упомянутых опытах делалось одно
априорное предположение: пространство евклидово. Вероятно,
можно для интерпретации отдельных опытов придумать
объяснение на основе геометрий, отличных от евклидовой, но
допущение, что вся огромная совокупность экспериментов
объясняется на базе неевклидовой геометрии, представляется
невероятной.
В заключение отметим, что современные представления о
структуре Метагалактики (Вселенной) также свидетельствуют,
что в ее пределах (размер ~10**28 см) пространство евклидово
или близко к нему (см. разд. 6 и 8 гл. 3).
Таким образом, весь исключительно богатый набор
экспериментальных фактов согласуется с допущением: в
интервале расстояний 10**-16 - 10**28 см физическая
геометрия близка или тождественна евклидовой геометрии
трехмерного пространства. Нам представляется этот факт
доказательством единственности геометрии в этом интервале
расстояний. Однако с точки зрения чистой логики нельзя
отвергнуть и другой тезис: нет доказательств, что нельзя
построить всю физику на основе геометрии, существенно
отличной от трехмерной евклидовой. Да, действительно
строгого логического доказательства такого утверждения нет.
Однако пока не сделаны хотя бы попытки построить физики в
