изотопическое пространство и реально, то его размеры
(размеры слоя) весьма малы. В дальнейшем, в гл.3, мы оценим
эти размеры.
Исключительная малость размеров изотопического
пространство делает в известном смысле иллюзорной попытку
провести грань между словами "реальное" и "воображаемое"
пространство. На опыте это пространство ненаблюдаемо, а
слова: "изотопическое пространство есть слой над базой -
видимое пространство" - имеют в значительной степени
филологические смысл.
===РИС.5
Подобная квалификация кажется тем более оправданной,
поскольку простая геометризация изотопического спина никак
не увязывается с взаимодействием частиц. Чтобы реализовать
связи в треугольнике геометрия - изотопический спин -
взаимодействие, нужна руководящая идея. Пока мы ограничимся
постулированием такой идеи, а в гл.3 подробно изложим
аргументы в ее пользу.
В настоящее время представляется, что основой
сформулированного выше "треугольника" является калибровочная
инвариантность. В качестве предварительного оправдания
подобного постулата можно привести довод: калибровочная
симметрия (правда, в различных модификациях) лежит в основе
четырех известных взаимодействий.
Можно наглядно (но упрощенно) представить
геометрическую интерпретацию изотопического спина (рис.5). К
каждой точке прямой "прикреплена" сфера произвольного
(единичного) радиуса, в которой вращается вектор состояния,
зависящий от координаты. Разумеется, реально точка базового
пространства имеет три, а не одно измерение, однако
представить наглядную 4-мерную конструкцию невозможно.
9. МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Для понимания дальнейшей процедуры геометризации
взаимодействия нужно четко представить следующие положения:
1. Взаимодействие обуславливается свойствами частиц -
переносчиков взаимодействия, и в частности их изотопическим
спином (см. Дополнения).
2. Состояние представляется вектором, вращающимся в
слое расслоенного пространства.
3. Взаимодействие определяется характеристиками
расслоенного пространства, и в частности связностью.
4. В основе взаимодействия лежит калибровочная
инвариантность.
Эти положения носят программный характер. Дальнейшее
представляет их конкретную реализацию. Для простоты
ограничимся вначале электродинамикой. Как упоминалось ранее,
уравнения электродинамики однозначно определяются
характеристиками фотона - частицы, переносящей
электромагнитное взаимодействие. Масса и изотопический спин
фотона равны нулю. Это обстоятельство приводит к фазовой
инвариантности функции состояния
i ALPHA(x)
PSIG'(x) -> e|||||||||| PSIG(x) и калибровочной
инвариантности потенциалов A'(x) -> A(x) + DL f (x) / DL x .
Важно, что в формуле для преобразования функция ALPHA(x) -
простое (хотя, возможно, и комплексное) число, а не матрица.
Это свойство определяется нулевым значением изотопического
спина фотона. Если бы изотопический спин частицы-переносчика
был отличен от нуля, то коэффициент ALPHA представлялся бы
матрицей, что кардинально изменяло бы ситуацию. Этот случай
будет рассмотрен далее.
Вернемся теперь к соотношению инвариантности функции
PSIG в электродинамике и будем геометрически
i ALPHA(x)
интерпретировать фазовый множитель e|||||||||| . Рассмотрим,
как и ранее, простейший случай статического поля. В этом
случае ALPHA(x) = const. Однако (и это обстоятельство играет
важнейшую роль) ALPHA может иметь любое действительное
значение.
Напомним еще раз, что вследствие теоремы Эйлера функция
i ALPHA
e||||||| соответствует точке в плоскости комплексного
переменного:
i ALPHA
e||||||| = cos ALPHA + i sin ALPHA (52)
Таким образом, cos ALPHA есть значение действительной,
i ALPHA
а sin ALPHA - мнимой части комплексного числа e||||||| .
i ALPHA
Модуль комплексного числа ! e||||||| ! = 1 . С
геометрических позиций эта интерпретация эквивалентна
i ALPHA
утверждению, что функция e||||||| есть точка в двумерной
декартовой плоскости с абсциссой, равной cos ALPHA, и
ординатой sin ALPHA. Эта точка лежит на окружности с
радиусом, равным единице. Учтем далее, что ALPHA принимает
произвольное действительное значение. следовательно, число
i ALPHA
e||||||| при любом значении ALPHA образует окружность с
единичным радиусом. Инвариантность относительно
преобразования (49) означает, что вектор состояния PSIG
может находиться на такой окружности, которая обозначается
1
символом S| (сфера размерности единица). Поэтому естественно
1
допустить, что окружность (сфера S|) и является слоем над
базой - привычным пространством Минковского. Напомним, что в
данном случае рассматриваются только электромагнитные силы,
поэтому следует отождествлять базовое пространство с
пространством Минковского. При совместном действии
электромагнитных и гравитационных сил следовало бы базой
полагать пространство Римана.
Нетрудно определить и связность расслоенного
пространства, соответствующего данному статическому случаю.
Как обычно, начало координат отождествим с заряженным телом
отсчета. Пусть расстояние до данной точки в пространстве
Минковского (Евклида) равно R. Тогда следует слой (плоскость
окружности) расположить перпендикулярно вектору R,
проходящему через центр окружности. Характеристикой
расслоенного пространства, связывающего взаиморасположение
соседних слоев и физическую ситуацию, является плотность
центров окружностей (слоев) на окружности в базе с радиусом
R. Следует положить, что эта плотность равна потенциалу
!e!/R , где e - заряд тела отсчета.
Естественно, что, вводя слои-окружности, мы увеличиваем
на единицу размерность пространства. Нужно четко представить
(вообразить), что слой - это не геометрическое место точек в
базе, а автономная геометрическая конструкция над базой.
Наше мышление устроено таким образом, что реально
представить это дополнительное, пятое измерение мы не в
состоянии. Поэтому некоторое упрощенное представление о
дополнительном измерении может дать двумерная плоскость
(база), к каждой точке которой "прикреплена" окружность с
центром в этой точке. Плотность слоев убывает с увеличением
расстояния от начала координат - тела отсчета с зарядом e.
Хотя наши рассуждения относились к простейшему
статическому случаю, однако геометрическая интерпретация
электромагнитного взаимодействия на основе расслоенного
1
пространства со слоем S| сохраняется и в общем,
нестатическом случае с единственным различием: связность
такого расслоенного пространства определяется не только
скалярной функцией FI, но и 4-векторным потенциалом A|, в
ю
котором функция FI является лишь временной компонентой.
Трактовка потенциалов как связностей оправдывается и тем,
что связности определены неоднозначно. Например, связность,
представленная на рис.3, определена с точностью до
трансляционной инвариантности в слое.
Здесь полезно сделать одно отступление. Хотя мы
исходили из концепции расслоенного пространства, однако
исторически геометрическая интерпретация электромагнетизма,
основанная на введении пятого дополнительного измерения,
была введена Т.Калуцей в 1921 г. задолго до формирования
идей расслоенного пространства.
В ту далекую эпоху вследствие торжества общей теории
относительности (количественное согласие предсказаний ОТО с
наблюдениями отклонения света в гравитационном поле Солнца)
возникла идея объединения известных тогда взаимодействий
(гравитационного и электромагнитного) на геометрической
базе. С этой целью предпринимались попытки модифицировать
физическую геометрию, обобщая 4-мерную геометрию Римана.
В частности, Калуца пытался объединить взаимодействия,
введя пятое измерение в рамках многомерной римановской
геометрии, т.е. обобщая метрику Римана. В этой теории
простейшая метрика объединенного взаимодействия имела вид:
! g|| + A|A| A| !
! юv ю v ю !
g|| = ! ! (53)
AB ! A| 1 !
! v !.
Индексы ю,v пробегают значения 1,2,3,4. Компоненты
метрического тензора g|| представляют риманово пространство
юv
ОТО. Индексы A,B могут иметь значения от 1 до 5. A| -
ю
4-вектор - потенциал электромагнитного поля.
Можно показать, что метрика (53) соответствует
4 1
расслоенному пространству - произведению R| x S| - и
представляет совместное действие гравитационного и
электромагнитного полей`.
------------------------------------------------------------
` Вывод уравнений электродинамики из метрики (53) см. в ст.:
Ходос А. Теории Калуцы-Клейна: общий обзор // УФН. 1985.
Т.146, #4, С.647.
------------------------------------------------------------
Несмотря на красоту идей Калуцы, к концу 30-х годов
интерес к пятимерным теориям был практически утрачен.
Физиков (в том числе и Эйнштейна), занимающихся объединением
взаимодействий на базе многомерного пространства, посчитали
чудаками, а само это направление бесперспективным. Для
подобной пессимистической оценки было немало оснований.
Перечислим их в том порядке, который (по мнению автора)
отражает их важность.
1. К тому времени четко определилось воззрение, что
электромагнитное и гравитационное взаимодействия не
исчерпывают все силы в природе. Появились доказательства
существования сильного и слабого взаимодействий, кардинально
отличных от первых двух. Для вновь открытых взаимодействий
не было места в оригинальной схеме Калуцы или в схемах его
современников.
2. В схеме не было оснований для выбора размеров
окружности слоя. Было лишь ясно, что эти размеры очень малы
(<<10**-13 см, т.е. много меньше радиуса действия ядерных
сил), однако никакие столь малые характеристические размеры
не имели теоретических основ.
3. Схема Калуцы не приводила ни к каким новым
предсказаниям или интерпретациям фундаментальных фактов.
4. Физическое пространство в рамках этой теории имело
довольно странный вид: три пространственных координаты имели
огромную протяженность (~10**26 см - размеры Метагалактики),
четвертая же координата имела циклический замкнутый характер
с очень малыми размерами.
Все эти соображения привели к тому, что многомерными
теориями занимались очень немногие физики.
Исключительно эффективная реставрация идеи многомерного
физического пространства произошла через тридцать лет после
описываемых событий, в середине 70-х годов. Можно назвать
несколько важных причин этой реставрации.
Во-первых, значительные успехи в теории объединения
взаимодействий. Правда, в основе этих успехов лежали идеи,
существенно отличные от идей Калуцы - Эйнштейна. Объединение
основывалось на квантовой теории поля.
Во-вторых, появилась теория, претендующая на объяснение
