Геометрия, динамика, вселенная
i i
следовательно, член A|A| нарушает калибровочную
i
инвариантность уравнений движения. Следовательно, лагранжиан
i
не может содержать скаляры типа A|A|. В теории поля
i
демонстрируется, что эти члены могут появиться в том случае,
когда частицы - переносчики взаимодействия - характеризуются
ненулевой массой. Следовательно, чтобы удовлетворить условию
(46), достаточно, чтобы масса частицы-переносчика была бы
строго равна нулю. В электродинамике такой частицей является
фотон. Экспериментально установлено, что масса фотона
m||||| < 4.5*10**-16 эВ/с**2, это в 10**21 раз меньше массы
GAMMA
самой легкой частицы - электрона. Естественно полагать, что
в соответствии с принципом калибровочной инвариантности
m|||||=0 .
GAMMA
С другой стороны, из принципа неопределенности следует,
что радиус действия сил, обусловленных частицей-переносчиком
~HP/mc . Для электродинамики это означает, что
электромагнитные силы - дальнодействующие. Их радиус
r|~~HP/m|||||c при m||||| = 0 равен бесконечности. Этот факт
GAMMA GAMMA
для электростатики следовал из простых физических
соображений (см. выше).
Ввиду исключительной важности калибровочного принципа
мы здесь наметим другой вывод уравнения электродинамики в
рамках квантовой теории.
В квантовой механике состояние представляется волновой
функцией PSIG. Вообще говоря, функция PSIG - комплексное
число; среднее значение какой-либо динамической величины A
равно интегралу
---\
\ *
= \ PSIG| (x) A PSIG (x) dx , (47)
\
\
\---
x - точка в пространстве Минковского. Ясно, что значение
величины инвариантно относительно преобразования
i ALPHA
PSIG'(x) -> e||||||| PSIG (x) . (48)
Инвариантность величины - следствие тождества
i ALPHA -i ALPHA
e||||||| * e|||||||| = 1 и того, что комплексно-сопряженная
. .
* *
функция PSIG| (x) преобразуется по закону PSIG| (x) ->
-i ALPHA *
e|||||||| PSIG| (x) . Следовательно, состояние системы,
*
которое определяется произведениями PSIG| A PSIG ,
инвариантны относительно преобразований (48), которые
характеризуются изменениями фазы ALPHA. Существенно, что в
приведенном примере ALPHA = const (x) . Поэтому
преобразование (48) называется глобальным фазовым
(калибровочным) преобразованием.
В известном смысле глобальное фазовое преобразование не
согласуется с основным принципом теории относительности -
конечностью скорости передачи информации. Действительно, в
нашем распоряжении нет возможности согласовать этот принцип
с синхронизацией какой-либо величины (в том числе и фазы
ALPHA) во всем бесконечном пространстве. Здесь не случайно
сделана оговорка "в известном смысле", так как на практике
обычно рассматриваются конечные области пространства. Однако
принципиальный вопрос остается. Поэтому целесообразно
обобщить инвариантность (48), требуя, чтобы фаза ALPHA
зависела от положения системы ALPHA = ALPHA (x) /= const (x)
, а функция PSIG преобразовывалась по закону
i ALPHA(x)
PSIG'(x) -> e|||||||||| PSIG (x) . (49)
Инвариантность такого типа называется локальной
калибровочной инвариантностью. Оказывается, что требование
уравнений динамики относительно локальной калибровочной
инвариантности однозначно определяет уравнения поля.
Остановимся сначала на уравнениях электродинамики. Как
известно, ее уравнения (уравнения Максвелла или Дирака)
определяются значением функций (полей) и их первыми
производными. Выше отмечалось, что физические величины не
зависят от значения фазы ALPHA. Однако эта независимость
сохраняется для производных лишь при условии ALPHA=const(x),
т.е. при глобальных преобразованиях. В общем случае
(ALPHA=ALPHA(x)) производная
DL PSIG i ALPHA(x) DL PSIG(x)
--------- -> e|||||||||| [ ------------ +
DL x DL x
DL ALPHA (x)
+ PSIG (x) -------------- ] (50)
DL x
и, следовательно, неинвариантна относительно локальных
калибровочных преобразований.
Однако можно показать, что эта инвариантность
восстанавливается, если наряду с преобразованием (48) при
ALHPA = ALHPA (x) ввести одновременно калибровочное
преобразование потенциалов
A|'(x) -> A|(x) + DL ALPHA (x) / DL x , (51)
ю ю
с которыми мы уже сталкивались (см. (45)). Иначе говоря,
уравнения электродинамики (или их квантовый эквивалент -
уравнения Дирака) инвариантны относительно совокупности
обоих калибровочных преобразований (49), (51).
С другой стороны, из этих преобразований однозначно
следуют уравнения электродинамики: классические и квантовые.
Калибровочные преобразования (49), (51) - необходимые и
достаточные условия уравнений электродинамики.
Сделаем в заключение три важных замечания.
1. Вывод о калибровочной инвариантности (соотношение
46)) базируется на допущении о неизменности фактора e при
калибровочных преобразованиях. Ясно из определения этого
фактора, что он играет роль электрического заряда. Таким
образом, неизменность величины e отражает неизменность
электрического заряда, т.е. его сохранение. Закон сохранения
заряда никак не связан с видимым 4-мерным пространством. Он
определяется калибровочной инвариантностью. Далее, в разд.9
этой главы мы продемонстрируем связь геометрии с
калибровочной инвариантностью и, следовательно, законом
сохранения заряда. Однако эта геометрия весьма отличается от
геометрии Евклида или Минковского.
2. В соотношении (45) вектор A и функция f или ALPHA
зависят от четырех координат (t,x,y,z). Этим калибровочное
условие (45) или (51) существенно отличается от
калибровочного соотношения (41), в котором величина b не
зависит от координат.
3. Таким образом, можно установить эквивалентность
следующих утверждений:
уравнения движения (поля) - калибровочно инвариантны,
заряд в замкнутой системе сохраняется,
силы в статическом случае дальнодействующие,
масса частицы переносчика взаимодействия m|||||=0 .
GAMMA
Последнее свойство является важной особенностью
калибровочной инвариантности, а также и всех остальных ее
следствий. Дело в том, что частицы с нулевой массой обладают
особым свойством: у таких частиц существует всего два
направления поляризации в отличие от частиц с массой m /= 0
, у которых имеются три три направления поляризации. Это
особое свойство безмассовых частиц и есть первопричина
калибровочной инвариантности.`
------------------------------------------------------------
` Наиболее просто взаимосвязь условия m||||| = 0 и
GAMMA
калибровочной инвариантности показана в ст.: Вайнберг С.
Свет как фундаментальная частица//УФН. 1976. Т.120. С.677.
Подробнее о калибровочной инвариантности см. в кн.:
Коноплева Н.П. Попов В.Н. Калибровочные поля. М.:
Атомиздат. 1980; Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц.
М.: Наука, 1984.
------------------------------------------------------------
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СОСТОЯНИЙ
Рассмотрим пример: систему невзаимодействующих частиц,
движущихся по классическим траекториям. Каждой частице в
момент времени t соответствуют свои координаты и проекции
импульса. Таким образом, каждой точке видимого пространства
соответствует значение вектора импульса. Можно рассматривать
движение системы частиц в этом пространстве, не придавая
совокупности импульсов никакого геометрического смысла.
Кроме того, можно полагать, что вся совокупность координат
играет роль базы, а векторы импульсов - слоев. При
отсутствии взаимодействия подобное расслоенное пространство
тривиально, а использование в данном случае образа
расслоенного пространства и его несколько непривычных для
физиков понятий - ненужное усложнение. Разумнее
рассматривать изолированно два пространства:
конфигурационное (координаты) и импульсное.
Однако ситуация меняется, если пытаться
интерпретировать внутренние квантовые числа элементарных
частиц. Здесь мы остановимся на геометрической интерпретации
спина, изотопического спина и цвета (об этих квантовых
числах см. Дополнение).
Введем вектор, характеризующий состояние системы,
которую для определенности мы будем отождествлять с
частицей. В первом приближении под состоянием следует
понимать значения ее координат и вектора импульса.
Однако если пытаться включить в понятие состояния
значения внутренних квантовых чисел, то элементарная
(привычная) наглядность состояния частицы утрачивается. Если
понятие спина частицы можно отождествить с вращением вектора
состояния в обычном конфигуральном пространстве (например,
пространстве Минковского), то уже при попытке наглядно
геометрически интерпретировать изотопический спин возникают
определенные трудности. Формализмы обычного и изотопического
спинов тождественны. Они соответствуют вращениям вектора
состояния в трехмерном пространстве`. В интерпретации спина
проблем нет. Это наше привычное евклидово пространство.
Однако в каком пространстве вращается вектор изотопического
спина? Со времен введения понятия изотопического спина
(Гейзенберг, 1932) произносили слова, похожие на заклинание:
вектор изотопического спина вращается в воображаемом
"зарядовом" пространстве.
------------------------------------------------------------
` На теоретико-групповом языке изотопический и обычный спины
соответствуют неприводимым представлениям группы SU(2) (SU
- аббревиатура слов: специальная, унитарная. Символ 2
обозначает, что группа соответствует двумерному
комплексному пространству).
------------------------------------------------------------
Однако, используя язык расслоенных пространств, этому
заклинанию можно придать некоторый физико-геометрический
смысл. Допустим, что изотопическое пространство является
слоем над базой - пространством Евклида (Минковского). Иначе
говоря, мы представляем реальное физическое пространство как
расслоенное пространство с базой - видимым пространством и
слоем - изотопическим (зарядовым) пространством. Нам нужно,
чтобы свойства этого слоя удовлетворяли двум условиям: 1)
слой должен быть трехмерной сферой (аналог пространства, в
котором вращается вектор обычного спина), 2) размеры этой
сферы должны быть очень малы, во всяком случае, много
меньше расстояний 10**-16 см, хорошо изученных на опыте.
Если бы радиус слоя превышал 10**-16 см, то слой -
изотопическое пространство - проявлялся бы на экспериментах,
в основе которых лежат представления о реальном физическом
пространстве. Этот эффект, например, проявлялся бы в
отклонении наблюдаемого сечения рассеяния позитронов на
электронах от вычисленного значения сечения. Поскольку такое
отклонение отсутствует, то следует сделать вывод, что если
