Выплат Год 1
Купонный доход 800 руб. 800/1,1
727 руб.
Год 2
Купонный доход 800 руб. 800/1,12
661 руб.
Год 3
Купонный доход 800 руб. 800/1,13
601 руб.
Год З
Погашение облигаций по
номиналу 10 000 руб. 10 000/1,13
7 513 руб.
Итого текущая стоимость облигации PV = 9 502 руб.
Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях при-
обретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее те-
кущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.).
Общая формула для расчета текущей стоимости инвестиции при условии
выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и
возврата основной суммы в конце срока:
(8)
где
C1, C2, C3 - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце пер-
вого, второго, третьего периодов,
Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого перио-
да,
FV - основная сумма вклада, выплаченная по окончании n-ого периода,
r - доходность по альтернативному вложению.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое денежные потоки ?
2. Для чего используется дисконтирование денежных потоков?
18.5 ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке
по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной
стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относи-
тельно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от
внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем вы-
годнее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.
Пример 8
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегод-
ный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номина-
ла. Найти внутреннюю ставку доходности по данному вложению.
Пусть номинал - 100, тогда
= 100 х 0,08 = 8,
= 100,
PV= 98,18,
a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, полу-
чаем:
Отсюда:
1 + r = 108/98,18 = 1,1
и, наконец, внутренняя ставка доходности равна: г = 0,1 = 10%.
Пример 9
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на бан-
ковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирова-
ния процентного дохода.
Где
PV = FV = 9 500,
C1 = C2 = Сз = 950.
Получаем уравнение:
Решая его относительно r , получим
r= 0,1 или 10%
Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям
Примера 7, то, решив уравнение
относительно r (r= 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма
прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что
соответствует выводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое внутренняя ставка доходности?
2.Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а про-
цент по банковскому вкладу 10%, какая из двух указанных инвестиций, на
ваш взгляд, выгоднее?
18.6 АННУИТЕТЫ
АННУИТЕТ
Аннуитет (иначе - рента) - регулярные, ежегодно поступающие платежи.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ АННУИТЕТА
Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей
стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долго-
го времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодич-
ностью.
Пример 10 Год
Доход
1
30 000 руб.
2
30 000 руб.
3
30 000 руб.
В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования потоков
платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается,
что выплаты происходят в конце каждого года):
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Настоящая стоимость 1
30 000 руб. l/(1+0,1) = 0,9091
27 273 руб.
2
30 000 руб. l/( l+0,l)2 = 0,8264
24 792 руб.
3
30 000 руб. 1/(1+0,1)3 = 0,7513
22 539 руб.
Текущая стоимость 74 604 руб.
Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.
Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконти-
рования на одну и ту же величину -
30 000.
Получим:
где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета
Ar.
Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета AR может
быть вычислен по формуле суммы членов геометрической прогрессии со зна-
менателем геометрической прогрессии 1/(1 + г):
где:
r - процентная ставка за период (см. условия примера),
n- число периодов.
Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент дискон-
тирования аннуитета при процентной ставке 10%:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое рента (аннуитет)?
2. Для чего используется дисконтирование аннуитета?
3. Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуите-
та можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?
18.7 РАСЧЕТ ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ, НАЧИНАЮЩИХСЯ В
МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, НА КОТОРЫЙ РАССЧИТЫВАЕТСЯ ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ
В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени,
на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, нап-
ример, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда
первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая
стоимость инвестиций.
Пример 11:
облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8%
ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после при-
обретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент
приобретения облигации.
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Текущая стоимость 0
80 руб.
1
80 руб.
1
80 руб.
1/1,08
74,07 руб.
2
1080 руб.
1/1,082
925,93 руб.
Общая текущая стоимость 1080 руб.
Общая формула для расчета текущей стоимости денежных потоков при ус-
ловии получения первого платежа в момент, на который рассчитывается нас-
тоящая стоимость, принимает вид:
где
С0 - первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в мо-
мент времени, на который рассчитывается текущая стоимость. Его будущая
стоимость равна текущей стоимости. Математическое объяснение таково: для
платежей, приходящих во время 0:
т. е. коэффициент дисконтирования равен 1.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что выражает процентная ставка, используемая при расчете текущей
стоимости аннуитета?
2. Чему равен коэффициент дисконтирования для платежа, полученного в
момент расчета текущей стоимости аннуитета?
В подготовке учебного пособия принимали непосредственное участие, а
также были использованы материалы, разработанные следующими авторами:
Глава 1. Б. Берд.
Глава 2. Марченко А.
Глава 3. Б. Берд, Радыгин А, Кокошкин К., Чекашкин Ю.
Глава 4. Б. Берд, Радыгин А., специалисты группы мониторинга Price
Waterhouse.
Глава 5. Б. Берд.
Глава 6. Радыгин А., Алексеева Е., Чураева М., специалисты группы мо-
ниторинга Price Waterhouse.
Глава 7. Б. Берд.
Глава 8. Марченко А.
Глава 9. Радыгин А., Олейник Л., Малова М., Глушецкий А.
Глава 10. Радыгин А., Редькин И., Субботин Д.
Глава 11. Радыгин А., Марченко А.
Глава 12. Кубасова Е., Теплухин П.
Глава 13. Радыгин А., Левенчук А., специалисты группы мониторинга
Price Waterhouse.
Глава 14. Марченко А.
Глава 15. Радыгин А., Алексеева Е., Чураева М., специалисты группы
мониторинга PriceWaterhouse.
Глава 16. Петренко Е.
Глава 17. Петренко Е.
Глава 18. Марченко А., Олейник Л., Алексеева Е.
Замечания и предложения по структуре и содержанию просим направлять
по адресу: 121099 Москва, а/я 360.
205
0
