ответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается за-
емщиком и тут же изымается кредитором.
Пример 2
Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком 3 года
при ставке 10% годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каж-
дого года полученные в качестве дохода 10%, а оставляет их на счете с
целью реинвестирования по той же процентной ставке (10%).
Основная
Доход за год,
Снято со
Остаток на счете
Сумма
Годовых
счета по
на конец года
Вклада,
Прошествии
Начало
Года
Года
11 год 1000
1000 х 0,1 = 100
0
1000 + (1000х0,1) =
1000 x (l+0,1) = 1100
22 год 1100
1100 х 0,1= 100
0
1100 + (1100x0,1) =
1100 x (l+0,l) = 1210
33 год 1210
1210 х 0,1 =121
0
1210 + (1210х0,1) =
1210 х (1+0,1) = 1331
По окончании трех лет инвестор получит кроме основной суммы вклада в
1000 рублей еще 331 рубль. Всего 1331 рубль.
Таким образом, если сравнивать условия без инвестирования процента
(простой процент) и с учетом инвестирования процента (сложный процент),
то результаты инвестирования по второй схеме превосходят результаты ин-
вестирования по первой схеме на 31 рубль. Это произошло по причине реин-
вестирования процента.
СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накоп-
ленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохо-
да. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически
начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а ос-
тается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соот-
ветственно он получает и большее вознаграждение.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое процент?
2. Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада
периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор
стремится получить максимальную выгоду. Для того, чтобы выбрать опти-
мальный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы.
Однако доходы могут поступать в разное время.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки
является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала ин-
вестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ и НАРАЩЕНИЕ
Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконти-
рованием, а к моменту в будущем - наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании
третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей, инвести-
рованных на 3 года; по ставке 10%, начисляемых ежегодно; при условии ре-
инвестирования процента.
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стои-
мостью 1331 рубля, которые будут выплачены (или получены) через 3 года;
исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирова-
ния.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) = 1000 х (1,1)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент. Теперь мы мо-
жем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных
на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирова-
ния процента.
Формула для расчета по схеме сложного процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + r)n, (3)
где
FV - будущая стоимость (future value),
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании)
(present value),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы (rate),
n - число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента
называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился
следующим образом:
1000 + 1000 х 0,1 +1000 х 0,1+1000 х 0,1 = 1000 х (1+0,1 х 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
Формула для расчета по схеме простого процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + n r), (4)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n- число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в
случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и ус-
ловия заимствования фактически совпадают:
FV = PV х (1+г)
Дисконтирование - это расчет, обратный наращению. При дисконтировании
мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем
стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать
разные суммы в разные времена. Таким образом, при дисконтировании мы на-
ходим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1
+ ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
(5)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n- число
периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение ИЛИ
называется коэффициентом дисконтирования. Он равен величине, обратной
величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как называется расчет, результатом которого является приведение
денежных потоков к начальному моменту времени?
2. Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
18.3 РАСЧЕТ ГОДОВЫХ СТАВОК ПРОЦЕНТА
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или
сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная став-
ка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпада-
ют. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо
рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же вре-
менному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА , РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
ЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка
(7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
на:
По формуле (7) процентная ставка равна:
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
го процента?
18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы
(выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной
форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости
инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды
инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей
стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконти-
ровать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать по-
лученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n или определяется с учетом до-
ходности по альтернативному вложению.
Пример 7
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию
номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного
8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка про-
цента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых (10% -
это ставка доходности
по альтернативному вложению денег в банк).
Будущая стоимость
Дисконтирование
Настоящая
Выплат
по ставке
Стоимость
По облигации
Доходности
Денежных
Альтернативного вложения (10%)
