теми парами имен, которые разнесены в списке не менее, чем на \Ве
глав. Составы карт в главах, удаленных друг от друга не менее,
чем на \Ве\А номеров, по предположению, независимы друг от друга.
Утверждение (А) означает, что такая зависимость не может
возникнуть и в том случае, если мы ограничимся рассмотрением лишь
локально связанных пар имен (сопряженных, ровесников).
Таким образом, из (А) следует, что это ограничение не влияет
(в правильных списках) на вероятность появления того или иного
значения расстояний между именами в выбранной паре имен, при
условии, однако, что это расстояние не меньше, чем \Ве\А. Другими
словами, соответствующие условные распределения \Вз\А совпадают с
безусловными -- что и утверждается в (Б).
ВЫВОД
Итак, для ПРАВИЛЬНЫХ списков имен Х распределения случайных
величин \Вз\А и \Вз\А должны совпадать на отрезке [\Ве\А, N] с ЛИНЕЙНО
2 3
УБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ, равной нулю в точке x=N.
Предположим теперь, что список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ,
сдвинутые друг относительно друга на расстояния \ВД\А,..., \ВД\А глав
1 D
(см. рис. 17). Покажем, что в этом случае распределение случайной
величины \Вз\А естественным образом ЗАВИСИТ от событий типа А или В,
введенных выше.
В самом деле, пусть u, u -- имена, сопряженные
r s
(встретившиеся) в некоторой главе Х списка Х. Тогда с некоторой
i
вероятностью (большей, чем в отсутствии этого условия) эти же
имена будут встречаться и в главах-дубликатах главы Х. Значит,
i
разнесения пар имен, встретившихся в тех главах списка, которые
имеют дубликаты в нем, с ПОВЫШЕННОЙ ЧАСТОТОЙ будут принимать
значения 0, \ВД\А,..., \ВД\А, равные расстояниям между дубликатами в
1 D
списке Х.
Если в списке ДОСТАТОЧНО МНОГО дубликатов, то случайные
величины \Вз\А и \Вз\А заметно изменят свое распределение по сравнению
2 3
со случайной величиной \Вз\А. Это произойдет из-за того, что их
значения будут сгущаться около нуля (что соответствует повторной
встрече имен, встретившихся в главе Х, в дубликатах этой главы)
i
и \ВД\А,..., \ВД\А (что соответствует ситуации, когда одно из имен,
1 D
встретившихся в главе Х, попало в один дубликат этой главы, а
i
другое -- в другой, отстоящий от первого на расстояние одного из
сдвигов \ВД\А,..., \ВД\А ). См. рис. 20.
1 D
Следовательно, в случае, когда список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ,
разнесенные друг от друга на расстояния \ВД\А,..., \ВД\А, гистограммы
1 D
частот связанных имен f (x) и f (x) будут содержать ВСПЛЕСКИ на
2 3
значениях сдвигов \ВД\А,..., \ВД\А. Это обстоятельство иллюстрируется
1 D
на рис. 21.
На этом рисунке условно изображен список Х, являющийся
суммой (с наложением) трех взаимно дублирующих друг друга
списков: Х = Y+Y+Y. Дубликаты Y=Y=Y сдвинуты друг относительно
друга в Х на величины s, s, s соответственно. В верхней части
1 2 3
рисунка изображено, какая при этом получится гистограмма частот
разнесений связанных имен -- она будет содержать всплески на
значениях сдвигов s, s, s.
1 2 3
2. 6. СТАСТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИМЕН БИБЛИИ.
ОТКРЫТИЕ РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ДУБЛИКАТОВ
ПРИМЕР 10. Гистограмма f частот разнесений связанных имен
2
для списка Б1 имен Библии с нормированными главами. См. рис. 22.
Поскольку главы списка ИМЕН БИБЛИИ сильно разнятся по объему,
гистограмма частот f для него СУЩЕСТВЕННО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ЛИНЕЙНОЙ
1
ФУНКЦИИ (предположения Леммы не выполнены). Поэтому, частота
вхождения имен в главы списка имен Библии были нормированы (о
процедуре нормировки см. выше). ПОСЛЕ НОРМИРОВКИ ГИСТОГРАММА
ЧАСТОТ F СОВПАЛА С ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ, изображенной на рис. 22
1
пунктиром.
График f (x) изображен на рис. 22 в пределах изменения x от
2
\Ве\А=10 до N=218 (глав). Чтобы выделить наиболее массивные всплески
на графике, он был сглажен по текущему отрезку длины 3 (то есть
брались средние значений функции по трем последовательным
значениям аргумента).
Вывод, который следует из рис. 22 (в соответствии со
сказанным выше), состоит в следующем.
В ХРОНОЛОГИИ БИБЛИИ, ПО-ВИДИМОМУ, ПРИСУТСТВУЮТ ТРИ МАССИВНЫХ
СДВИГА. Из них два сдвига -- сдвоенные (парные). Это:
а) Парный сдвиг на 29-30 и 36-41 глав (сдвиги измеряются в
главах-поколениях). Сдвиг состоит из двух близких друг к другу
сдвигов. Разница между сдвигами в паре -- приблизительно 10 глав.
б) сдвиг на 92-94 и 100-102 глав. Парный сдвиг с разницей в
паре около 10 глав.
в) сдвиг на 136-139 (глав).
Первый из перечисленных сдвигов отвечает ИЗВЕСТНОЙ
(классической) паре дубликатов в Библии:
1-4 ЦАРСТВ = 1-2 ПАРАЛИПОМЕНОН.
При этом, начало 1 Царств (=98 глава-поколение) и начало 1
Паралипоменон (=138 глава-поколение) разнесены на 40
глав-поколений, а последняя глава 4 Царств (=137) и последняя
глава 2 Паралипоменон (=167) -- на 30 глав-поколений. Таким
образом, первый из всплесков в паре отвечает сдвигу между
окончаниями дублирующих друг друга библейских хроник 1-4 Царств и
1-2 Паралипоменон, а второй -- между их началами.
Парный всплеск б) говорит о наличии в списке имен Библии
других дубликатов (РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫХ), разнесенных приблизительно
на 100 глав-поколений. Сравнение с рис. 8-а (график среднего
возраста имен в списке имен Библии) позволяет предположить, что
это -- либо сдвиг между дубликатами:
КНИГИ 1-4 ЦАРСТВ И КНИГИ НОВОГО ЗАВЕТА,
либо сдвиг между дубликатами:
КНИГИ ПРОРОКОВ И КНИГА СУДЕЙ,
либо смесь этих двух сдвигов.
Отметим, что так же, как и в случае а), этот сдвиг состоит
из двух близких сдвигов, разница между которыми -- около 10
глав-поколений. По-видимому, это является отражением какого-то
особого свойства хроники 1-4 Царств. Мы вернемся к этому
обстоятельству в следующем примере.
Всплеск в) говорит о том, что в Библии содержится также
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ДУБЛИКАТ КАКОЙ-ТО ЧАСТИ ПЕРВОЙ ЕЕ КНИГИ -- БЫТИЕ.
Это следует из того, что разнесение между концом книги Бытие и
последними главами Библии составляет как раз около 140 глав.
Значит, сдвиг на 140 глав может относиться лишь к главам из книги
Бытие (в качестве первого дубликата в паре) -- иначе второй
дубликат пришлось бы искать уже за правым пределом шкалы глав.
На рис. 23 для сравнения приведена также гистограмма f для
2
списка Б2 (повторы в Библии).
В основном, расположение всплесков на рис. 22 и рис. 23
СОВПАДАЕТ.
На рис. 23 сдвиг а) между библейскими хрониками 1-4 Царств и
1-2 Паралипоменон выражен ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ЯРКО и очень хорошо
видно, что он -- сдвоенный.
На рис. 23 также ЯРКО ВЫРАЖЕН сдвиг на 70 глав (плохо
выраженный на рис. 22). Этот сдвиг, по-видимому соответствует
паре (1-3 Царств / Пророки) -- ср. рис. 8-а).
ВЫВОД.
Таким образом, наш метод не только обнаружил ранее известные
дубликаты внутри Библии, но и важные НОВЫЕ, РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ
ДУБЛИКАТЫ. Следовательно, некоторые важные книги Библии говорят,
по-видимому, ОБ ОДНИХ И ТЕХ ЖЕ СОБЫТИЯХ, что раньше замечено не
было.
2. 7. ВЫДЕЛЕНИЕ ЛИШЬ ОДНОЙ ГРУППЫ ДУБЛИКАТОВ
ВНУТРИ СЛОЖНОЙ ЛЕТОПИСИ
Выше были введены два локальных условия на пару имен списка
Х: u \В=\Аu (u и u -- РОВЕСНИКИ) и u \Д:\Аu (u и u -- СОПРЯЖЕНЫ).
i j i j i j i j
Определим еще несколько условий этого типа и рассмотрим
порожденные этими условиями гистограммы частот разнесений
связанных имен.
Условия будем подбирать так, чтобы по соответствующим
гистограммам частот определялись не все сдвиги между дубликатами
в списке Х, а лишь те, которые присущи какой-то ОДНОЙ СИСТЕМЕ
ДУБЛИКАТОВ в нем. Это позволит анализировать списки со СЛОЖНОЙ
структурой дубликатов и БОЛЬШИМ количеством различных значений
сдвигов между ними.
е Пусть C -- некоторое множество глав списка имен Х, состоящее
из d глав, не обязательно идущих подряд в списке:
C = {X ,..., X }.
i i
1 d
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени u и u
i j
с
РОВЕСНИКИ ИЗ С (обозначение: u \В=\А u ), если они впервые
i j
появились в списке в одной и той же главе, которая принадлежит
множеству глав С.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени u и u
i j
с
СОПРЯЖЕНЫ В С (обозначение: u \Д:\А u ), если они попали
i j
вместе хотя бы в одну главу множества С.
По аналогии с локальными событиями А и В, рассмотренными
выше, введем события:
c
A = {\Вw\А: b \В=\А b },
C 1 2
c
B = {\Вw\А: b \Д:\А b }.
C 1 2
Событие B является ЛОКАЛЬНЫМ, т. к. может быть определено
C
составом, скажем первой главы из множества C.
Событие A ЛОКАЛЬНЫМ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ, но оно будет локальным,
C
если рассматривать не весь список Х, а его часть, начинающуюся с
первой главы множества C (все главы с меньшими номерами
отбросить), и исключить из нее все имена, впервые появившиеся в
предшествующих (отброшенных главах).
Так же, как и выше, по событиям A и B определяются
C C
C C
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ f (x) и f (x) случайной величины \Вз\А при
2 3
условии, что произошло событие A или B соответственно:
C C
f (x) = P(\Вз\А = x| A },
2 C
f (x) = P{\Вз\А = x| B } (x -- целое).
3 C
Утверждение (Б) сформулированное выше, сохраняет силу и для
C C
гистограмм f (x) и f (x) при произвольном выборе подмножества
2 3
глав C.
Таким образом, для РАВНОМЕРНО ПЛОТНЫХ списков с ПРАВИЛЬНОЙ
C C
хронологией графики функций f (x) и f (x) ДОЛЖНЫ СОВПАДАТЬ (быть
2 3
близки) на промежутке [\Ве\А, N] с графиком ЛИНЕЙНО УБЫВАЮЩЕЙ функции,
равной нулю при x=N.
При этом, однако необходимо потребовать, чтобы количество
связанных в C имен было ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКО. Иначе возникнут
расхождения графиков, обусловленные малостью выборки.
Рассмотрим теперь случай, когда список Х содержит дубликаты,
причем среди дубликатов есть некоторые главы из множества C.
Тогда имена, связанные в этих главах, будут с повышенной
вероятностью повторяться в их дубликатах.
C
