угольника A(k,l) и, следовательно, стороной одного из тре-
угольников, на которые он разрезан. Противоположной вершиной i
этого треугольника может быть любая из вершин k+1,...,l-1, и ми-
нимальная стоимость разрезания может быть вычислена как
min {(длина хорды k--i)+(длина хорды i--l)+a(k,i)+a(i,l)}
по всем i=k+1,..., i=l-1. При этом надо учесть, что при i=k+1
хорда k--i - не хорда, а сторона, и ее длину надо считать равной
0 (по стороне разрез не проводится).
Составив таблицу для a(k,l) и заполняя ее в порядке возрас-
тания числа вершин (равного l-k+2), мы получаем программу, ис-
пользующую память порядка n*n и время порядка n*n*n (однократное
применение рекуррентной формулы требует выбора минимума из не
более чем n чисел).
8.1.4. Матрицей размера m*n называется прямоугольная табли-
ца из m строк и n столбцов, заполненная числами. Матрицу размера
m*n можно умножить на матрицу размера n*k (ширина левого сомно-
жителя должна равняться высоте правого), и получается матрица
размером m*k. Ценой такого умножения будем считать произведение
m*n*k (таково число умножений, которые нужно выполнить при стан-
дартном способе умножения - но сейчас это нам не важно). Умноже-
ние матриц ассоциативно, поэтому произведение n матриц можно вы-
числять в разном порядке. Для каждого порядка подсчитаем суммар-
ную цену всех матричных умножений. Найти минимальную цену вычис-
ления произведения, если известны размеры всех матриц. Число
действий должно быть ограничено многочленом от числа матриц.
Пример. Матрицы размером 2*3, 3*4, 4*5 можно перемножать
двумя способами. В первом цена равна 2*3*4 + 2*4*5 = 24 + 40 =
64, во втором цена равна 3*4*5 + 2*3*5 = 90.
Решение. Представим себе, что первая матрица написана на
отрезке [0,1], вторая - на отрезке [1,2],..., s-ая - на отрезке
[s-1,s]. Матрицы на отрезках [i-1,i] и [i,i+1] имеют общий раз-
мер, позволяющих их перемножить. Обозначим его через d[i]. Таким
образом, исходным данным в задаче является массив d[0]..d[s].
Через a(i,j) обозначим минимальную цену вычисления произве-
дения матриц на участке [i,j] (при 0<=i', n);
| end else begin
| | s:=6-m-n; {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | move (i-1, m, s);
| | writeln ('сделать ход', m, '->', n);
| | move (i-1, s, n);
| end;
end;
Видно, что задача "переложить i верхних дисков с m-го стержня на
n-ый" сводится к трем задачам того же типа: двум задачам с i-1
дисками и к одной задаче с единственным диском. Выполняя эти за-
дачи, важно не позабыть, что еще осталось сделать.
Для этой цели заведем стек отложенных заданий, элементами
которого будут тройки . Каждая такая тройка интерпретиру-
ется как заказ "переложить i верхних дисков с m-го стержня на
n-ый". Заказы упорядочены в соответствии с требуемым порядком их
выполнения: самый срочный - вершина стека. Получам такую прог-
рамму:
procedure move(i,m,n: integer);
begin
| сделать стек заказов пустым
| положить в стек тройку
| {инвариант: осталось выполнить заказы в стеке}
| while стек непуст do begin
| | удалить верхний элемент, переложив его в
| | if j = 1 then begin
| | | writeln ('сделать ход', p, '->', q);
| | end else begin
| | | s:=6-p-q;
| | | {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | | положить в стек тройки , <1,p,q>,
| | end;
| end;
end;
(Заметим, что сначала в стек кладется тройка, которую надо вы-
полнять последней.) Стек троек может быть реализован как стри
отдельных стека. (Кроме того, в паскале есть специальный тип,
называемый "запись", который может быть применен.)
8.2.2. (Сообщил А.К.Звонкин со ссылкой на Анджея Лисовско-
го.) Для задачи о ханойских башнях есть и другие нерекусивные
алгоритмы. Вот один из них: простаивающим стержнем (не тем, с
которого переносят, и не тем, на который переносят) должны быть
все стержни по очереди. Другое правило: поочередно перемещать
наименьшее кольцо и не наименьшее кольцо, причем наименьшее - по
кругу.
8.2.3. Использовать замену рекурсии стеком отложенных зада-
ний в рекурсивной программе печати десятичной записи целого чис-
ла.
Решение. Цифры добываются с конца и закладываются в стек, а
затем печатаются в обратном порядке.
8.2.4. Написать нерекурсивную программу, печатающую все
вершины двоичного дерева.
Решение. В этом случае стек отложенных заданий будет содер-
жать заказы двух сортов: заказ напечатать (в свое время) данную
вершину и заказ напечатать все вершины поддерева с данным корнем
(при этом nil считается корнем пустого дерева). Таким образом,
элемент стека есть пара: <тип заказа, номер вершины>.
Вынимая элемент из стека, мы либо сразу исполняем его (если
это заказ первого типа) либо помещаем в стек три порожденных им
заказа - в одном из шести возможных порядков.
8.2.5. Что изменится, если требуется не печатать вершины
двоичного дерева, а подсчитать их количество?
Решение. Печатание вершины следует заменить прибавлением
единицы к счетчику. Другими словами, инвариант таков: (общее
число вершин) = (счетчик) + (сумма чисел вершин в поддеревьях,
корни которых лежат в стеке).
8.2.6. Для некоторых из шести возможных порядков возможны
упрощения, делающие ненужным хранение в стеке элементов двух ви-
дов. Указать некоторые из них.
Решение. Если требуемый порядок таков:
корень, левое поддерево, правое поддерево,
то заказ на печатание корня можно не закладывать в стек, а вы-
полнять сразу.
Несколько более сложная конструкция применима для порядка
левое поддерево, корень, правое поддерево.
В этом случае все заказы в стеке, кроме самого первого (напеча-
тать поддерево) делятся на пары:
напечатать вершину x, напечатать правое поддерево x
(т.е. поддерево с корнем в правом сыне x). Объединив эти пары в
заказы специального вида и введя переменную для отдельного хра-
нения первого заказа, мы обойдемся стеком однотипных заказов.
То же самое, разумеется, верно, если поменять местами левое
и правое - получается еще два порядка.
Замечание. Другую программу печати всех вершин дерева можно
построить на основе программы обхода дерева, разобранной в соот-
ветствующей главе. Там используется команда "вниз". Поскольку
теперешнее представление дерева с помощью массивов l и r не поз-
воляет найти предка заданной вершины, придется хранить список
всех вершин на пути от корня к текущей вершине. Cмотри также
главу об алгоритмах на графах.
8.2.7. Написать нерекурсивный вариант программы быстрой
сортировки. Как обойтись стеком, глубина которого ограничена
C*log n, где n - число сортируемых элементов?
Решение. В стек кладутся пары , интерпретируемые как
отложенные задания на сортировку соответствующих участков масси-
ва. Все эти заказы не пересекаются, поэтому размер стека не мо-
жет превысить n. Чтобы ограничиться стеком логарифмической глу-
бины, будем придерживаться такого правила: глубже в стек поме-
щать больший из возникающих двух заказов. Пусть f(n) - макси-
мальная глубина стека, которая может встретиться при сортировке
массива из не более чем n элементов таким способом. Оценим f(n)
сверху таким способом: после разбиения массива на два участка мы
сначала сортируем более короткий (храня в стеке про запас) более
длинный, при этом глубина стека не больше f(n/2)+1, затем сорти-
руем более длинный, так что
f(n) <= max (f(n/2)+1, f(n-1)),
откуда очевидной индукцией получаем f(n) = O(log n).
8.3. Более сложные случаи рекурсии.
Пусть функция f с натуральными аргументами и значениями оп-
ределена рекурсивно условиями
f(0) = a,
f(x) = h(x, f(l(x))),
где a - некоторое число, а h и l - известные функции. Другими
словами, значение функции f в точке x выражается через значение
f в точке l(x). При этом предполагается, что для любого x в пос-
ледовательности
x, l(x), l(l(x)),...
рано или поздно встретится 0.
Если дополнительно известно, что l(x) < x для всех x, то
вычисление f не представляет труда: вычисляем последовательно
f(0), f(1), f(2),...
8.3.1. Написать нерекурсивную программу вычисления f для
общего случая.
Решение. Для вычисления f(x) вычисляем последовательность
l(x), l(l(x)), l(l(l(x))),...
до появления нуля и запоминаем ее, а затем вычисляем значения f
в точках этой последовательности, идя справа налево.
Еще более сложный случай из следующей задачи вряд ли встре-
тится на практике (а если и встретися, то проще рекурсию не
устранять, а оставить). Но тем не менее: пусть функция f с нату-
