равна Содержание[Вершина[s]], остальные элементы s-го стека мож-
но найти, идя по стрелкам - до тех пор, пока они не кончатся.
При этом (s-ый стек пуст) <=> Вершина[s] = 0.
Стрелочные траектории, выходящие из Вершина[1], ..., Верши-
на[k] (из тех, которые не равны 0) не должны пересекаться. Поми-
мо них, нам понадобится еще одна стрелочная траектория, содержа-
щая все неиспользуемые в данный момент ячейки. Ее начало мы бу-
дем хранить в переменной Свободная (равенство Свободная = 0 оз-
начает, что пустого места не осталось). Вот что получается:
n=8 | a | p | q | d | s | t | v | w |
k=2 | | | Свободная
Содержание = , Следующий = <3,0,6,0,0,2,5,4>
Вершина = <1, 7>, Свободная = 8
Стеки: 1-ый: p t q a (a-вершина); 2-ой: s v (v-вершина).
procedure Начать_работу; {Делает все стеки пустыми}
| var i: integer;
begin
| for i := 1 to k do begin
| | Вершина [i]:=0;
| end;
| for i := 1 to n-1 do begin
| | Следующий [i] := i+1;
| end;
| Свободная:=1;
end;
function Есть_место: boolean;
begin
| Есть Место := (Свободная <> 0);
end;
procedure Добавить (t: T; s: integer);
| {Добавить t к s-му стеку}
| var i: 1..n;
begin
| {Есть_место}
| i := Свободная;
| Свободная := Следующий [i];
| Вершина [s] :=i;
| Содержание [i] := t;
| Следующий [i] := Вершина [s];
end;
function Пуст (s: integer): boolean; {s-ый стек пуст}
begin
| Пуст := (Вершина [s] = 0);
end;
procedure Взять (var t: T; s: integer);
| {взять из s-го стека в t}
| var i: 1..n;
| begin
| {not Пуст (s)}
| i := Вершина [s];
| t := Содержание [i];
| Вершина [s] := Следующий [i];
| Следующий [i] := Свободная;
| Свободная := i;
end;
6.2. Очереди.
Значениями типа "очередь элементов типа T", как и для сте-
ков, являются последовательности значений типа T. Разница состо-
ит в том, что берутся элементы не с конца, а с начала (а добав-
ляются по-прежнему в конец).
Операции с очередями.
Сделать_пустой (var x: очередь элементов типа T);
Добавить (t: T, var x: очередь элементов типа T);
Взять (var t: T, var x: очередь элементов типа T);
Пуста (x: очередь элементов типа T): boolean;
Очередной (x: очередь элементов типа T): T.
При выполнении команды "Добавить" указанный элемент добав-
ляется в конец очереди. Команда "Взять" выполнима, лишь если
очередь непуста, и забирает из нее первый (положенный туда
раньше всех) элемент, помещая его в t. Значением функции "Оче-
редной" (определенной для непустой очереди) является первый эле-
мент очереди.
Английские названия стеков - Last In First Out (последним
вошел - первым вышел), а очередей - First In First Out (первым
вошел - первым вышел).
Реализация очередей в массиве.
6.2.1. Реализовать операции с очередью ограниченной длины
так, чтобы количество действий для каждой операции было ограни-
чено константой, не зависящей от длины очереди.
Решение. Будем хранить элементы очереди в соседних элемен-
тах массива. Тогда очередь будет прирастать справа и убывать
слева. Поскольку при этом она может дойти до края, свернем мас-
сив в окружность.
Введем массив Содержание: array [0..n-1] of T и переменные
Первый: 0..n-1,
Длина : 0..n.
При этом элементами очереди будут
Содержание [Первый], Содержание [Первый + 1],...,
Содержание [Первый + Длина - 1],
где сложение рассматривается по модулю n. (Предупреждение. Если
вместо этого ввести переменные Первый и Последний, принимающие
значения в вычетах по модулю n, то пустая очередь может быть
спутана с очередью из n элементов.)
Моделирование операций:
Сделать Пустой:
Длина := 0;
Первый := 0;
Добавить элемент:
{Длина < n}
Содержание [(Первый + Длина) mod n] := элемент;
Длина := Длина + 1;
Взять элемент;
{Длина > 0}
элемент := Содержание [Первый];
Первый := (Первый + 1) mod n;
Длина := Длина - 1;
Пуста = (Длина = 0);
Очередной = Содержание [Первый];
6.2.2. (Сообщил А.Г.Кушниренко) Придумать способ моделиро-
вания очереди с помощью двух стеков (и фиксированного числа пе-
ременных типа T). При этом отработка n операций с очередью (на-
чатых, когда очередь была пуста) должна требовать порядка n
действий.
Решение. Инвариант: стеки, составленные концами, образуют
очередь. (Перечисляя элементы одного стека вглубь и затем эле-
менты второго наружу, мы перечисляем все элементы очереди от
первого до последнего.) Ясно, что добавление сводится к добавле-
нию к одному из стеков, а проверка пустоты - к проверке пустоты
обоих стеков. Если мы хотим взять элемент, есть два случая. Если
стек, где находится начало очереди, не пуст, то берем из него
элемент. Если он пуст, то предварительно переписываем в него все
элементы второго стека, меняя порядок (это происходит само при
перекладывании из стека в стек) и сводим дело к первому случаю.
Хотя число действий при этом и не ограничено константой, но тре-
бование задачи выполнено, так как каждый элемент очереди может
участвовать в этом процессе не более одного раза.
6.2.3. Деком называют структуру, сочетающую очередь и стек:
класть и забирать элементы можно с обоих концов. Как реализовать
дек ограниченного размера на базе массива так, чтобы каждая опе-
рация требовала ограниченного числа действий?
6.2.4. (Сообщил А.Г.Кушниренко.) Имеется дек элементов типа
T и конечное число переменных типа T и целого типа. В начальном
состоянии в деке некоторое число элементов. Составить программу,
после исполнения которой в деке остались бы те же самые элемен-
ты, а их число было бы в одной из целых переменных.
Указание. (1) Элементы дека можно циклически переставлять,
забирая с одного конца и помещая в другой. После этого, сделав
столько же шагов в обратном направлении, можно вернуть все на
место. (2) Как понять, прошли мы полный круг или не прошли? Если
бы был какой-то элемент, заведомо отсутствующий в деке, то можно
было бы его подсунуть и ждать вторичного появления. Но таких
элементов нет. Вместо этого можно для данного n выполнить цикли-
ческий сдвиг на n дважды, подсунув разные элементы, и посмот-
реть, появятся ли разные элементы через n шагов.
Применение очередей.
6.2.5. Напечатать в порядке возрастания первые n нату-
ральных чисел, в разложение которых на простые множители входят
только числа 2, 3, 5.
Решение. Введем три очереди x2, x3, x5, в которых будем
хранить элементы, которые в 2 (3, 5) раз больше напечатанных, но
еще не напечатанные. Определим процедуру
procedure напечатать_и_добавить (t: integer);
begin
| writeln (t);
| добавить (2*t, x2);
| добавить (3*t, x3);
| добавить (5*t, x5);
end;
Вот схема программы:
напечатать_и_добавить (1);
k := 1; { k - число напечатанных }
{инвариант: напечатано в порядке возрастания k минимальных
членов нужного множества; в очередях элементы, вдвое, втрое и
впятеро большие напечатанных, но не напечатанные, расположен-
ные в возрастающем порядке}
while k <> n do begin
| x := min (очередной (x2), очередной (x3), очередной (x5));
| напечатать_и_добавить (x);
| k := k+1;
| ...взять x из тех очередей, где он был очередным;
end;
Пусть инвариант выполняется. Рассмотрим наименьший из нена-
печатанных элементов множества. Тогда он делится нацело на одно
из чисел 2, 3, 5, и частное также принадлежит множеству. Значит,
оно напечатано. Значит, x находится в одной из очередей и, сле-
довательно, является в ней первым (меньшие напечатаны, а элемен-
ты очередей не напечатаны). Напечатав x, мы должны его изъять и
добавить его кратные.
Длины очередей не превосходят числа напечатанных элементов.
Следующая задача связана с графами (к которым мы вернёмся в
главе 9).
Пусть задано конечное множество, элементы которого называют
вершинами, а также некоторое множество упорядоченных пар вершин,
называемых ребрами. В этом случае говорят, что задан ориентиро-
ванный граф. Пару называют ребром с началом p и концом q;
говорят также, что оно выходит из вершины p и входит в вершину
q. Обычно вершины графа изображают точками, а ребра - стрелками,
ведущими из начала в конец. (В соответствии с определением из
данной вершины в данную ведет не более одного ребра; возможны
ребра, у которых начало совпадает с концом.)
6.2.6. Известно, что ориентированный граф связен, т. е. из
любой вершины можно пройти в любую по ребрам. Кроме того, из
каждой вершины выходит столько же ребер, сколько входит. Дока-
зать, что существует замкнутый цикл, проходящий по каждому ребру
ровно один раз. Составить алгоритм отыскания такого цикла.
Решение. Змеей будем называть непустую очередь из вершин, в
которой любые две вершины соединены ребром графа (началом явля-
ется та вершина, которая ближе к началу очереди). Стоящая в на-
чале очереди вершина будет хвостом змеи, последняя - головой. На
рисунке змея изобразится в виде цепи ребер графа, стрелки ведут
от хвоста к голове. Добавление вершины в очередь соответствует
росту змеи с головы, взятие вершины - отрезанию кончика хвоста.
Вначале змея состоит из единственной вершины. Далее мы сле-
дуем такому правилу:
while змея включает не все ребра do begin
| if из головы выходит неиспользованное в змее ребро then begin
| | удлинить змею этим ребром
| end else begin
| | {хвост змеи в той же вершине, что и голова}
| | отрезать конец хвоста и добавить его к голове
| | {"змея откусывает конец хвоста"}
| end;
end;
Докажем, что мы достигнем цели.
1) Идя по змее от хвоста к голове, мы входим в каждую вер-
шину столько же раз, сколько выходим. Так как в любую вершину
входит столько же ребер, сколько выходит, то невозможность выйти
означает, что мы начали движение в этой же точке.
2) Змея не укорачивается, поэтому либо она охватывает все
ребра, либо, начиная с некоторого момента, будет иметь постоян-
ную длину. Во втором случае змея будет бесконечно "скользить по
себе". Это возможно, только если из всех вершин змеи не выходит
неиспользованных ребер. Из связности следует, что использованы
все ребра.
Замечание по реализации на паскале. Вершинами графа будем
считать числа 1..n. Для каждой вершины i будем хранить число
Out[i] выходящих из нее ребер, а также номера Num[i][1],...,
Num[i][Out[i]] тех вершин, куда эти ребра ведут. В процессе
построения змеи будет выбирать первое свободное ребро. Тогда
достаточно будет хранить для каждой вершины число выходящих из
нее использованных ребер - это будут ребра, идущие в начале
списка.
6.2.7. Доказать, что для всякого n существует последова-
тельность нулей и единиц длины (2 в степени n) со следующим
свойством: если "свернуть ее в кольцо" и рассмотреть все фраг-
менты длины n (их число равно (2 в степени n)), то мы получим
все возможные последовательности нулей и единиц длины n. Постро-
ить алгоритм отыскания такой последовательности, требующий не
более (C в степени n) действий для некоторой константы C.
Указание. Рассмотрим граф, вершинами которого являются пос-
ледовательности нулей и единиц длины (n-1). Будем считать, что
из вершины x ведет ребро в вершину y, если x может быть началом,
а y - концом некоторой последовательности длины n. Тогда из каж-
дой вершины входит и выходит два ребра. Цикл, проходящий по всем
ребрам, и даст требуемую последовательность.
6.2.8. Реализовать k очередей с ограниченной суммарной дли-
ной n, используя память порядка n+k, причем каждая операция
