значение производной, не упоминая о самом многочлене, получается
не такая уж простая задача.)
1.2.14. В массивах
a:array [0..k] of integer и b: array [0..l] of integer
хранятся коэффициенты двух многочленов степеней k и l. Помес-
тить в массив c: array [0..m] of integer коэффициенты их произ-
ведения. (Числа k, l, m - натуральные, m = k + l; элемент мас-
сива с индексом i содержит коэффициент при x в степени i.)
Решение.
for i:=0 to m do begin
| c[i]:=0;
end;
for i:=0 to k do begin
| for j:=0 to l do begin
| | c[i+j] := c[i+j] + a[i]*b[j];
| end;
end;
1.2.15. Предложенный выше алгоритм перемножения многочленов
требует порядка n*n действий для перемножения двух многочленов
степени n. Придумать более эффективный (для больших n) алгоритм,
которому достаточно порядка (n в степени (log 4)/(log 3))
действий.
Указание. Представим себе, что надо перемножить два многоч-
лена степени 2k. Их можно представить в виде
A(x)*x^k + B(x) и C(x)*x^k + D(x)
(здесь x^k обозначает x в степени k). Произведение их равно
A(x)C(x)*x^{2k} + (A(x)D(x)+B(x)C(x))*x^k + B(x)D(x)
Естественный способ вычисления AC, AD+BC, BD требует четырех ум-
ножений многочленов степени k, однако их количество можно сокра-
тить до трех с помощью такой хитрости: вычислить AC, BD и
(A+B)(C+D), а затем заметить, что AD+BC=(A+B)(C+D)-AC-BD.
1.2.16. Даны два возрастающих массива x: array [1..k] of
integer и y: array [1..l] of integer. Найти количество общих
элементов в этих массивах (т. е. количество тех целых t, для ко-
торых t = x[i] = y[j] для некоторых i и j). (Число действий по-
рядка k+l.)
Решение.
k1:=0; l1:=0; n:=0;
{инвариант: 0<=k1<=k; 0<=l1<=l; искомый ответ = n + количество
общих элементов в x[k1+1]...x[k] и y[l1+1]..y[l]}
while (k1 <> k) and (l1 <> l) do begin
| if x[k1+1] < y[l1+1] then begin
| | k1 := k1 + 1;
| end else if x[k1+1] > y[l1+1] then begin
| | l1 := l1 + 1;
| end else begin {x[k1+1] = y[l1+1]}
| | k1 := k1 + 1;
| | l1 := l1 + 1;
| | n := n + 1;
| end;
end;
{k1 = k или l1 = l, поэтому одно из множеств, упомянутых в
инварианте, пусто, а n равно искомому ответу}
Замечание. В третьей альтернативе достаточно было бы увеличивать
одну из переменных k1, l1; вторая добавлена для симметрии.
1.2.17. Решить предыдущую задачу, если известно лишь, что
x[1] <= ... <= x[k] и y[1] <= ... <= y[l] (возрастание заменено
неубыванием).
Решение. Условие возрастания было использовано в третьей
альтернативе выбора: сдвинув k1 и l1 на 1, мы тем самым уменьша-
ли на 1 количество общих элементов в x[k1+1]...x[k] и
x[l1+1]...x[l]. Теперь это придется делать сложнее.
...
end else begin {x[k1+1] = y[l1+1]}
| t := x [k1+1];
| while (k1 k) or (l1 <> l) do begin
| if k1 = k then begin
| | {l1 < l}
| | l1 := l1 + 1;
| | z[k1+l1] := y[l1];
| end else if l1 = l then begin
| | {k1 < k}
| | k1 := k1 + 1;
| | z[k1+l1] := x[k1];
| end else if x[k1+1] <= y[l1+1] then begin
| | k1 := k1 + 1;
| | z[k1+l1] := x[k1];
| end else if x[k1+1] >= y[l1+1] then begin
| | l1 := l1 + 1;
| | z[k1+l1] := y[l1];
| end else begin
| | { такого не бывает }
| end;
end;
{k1 = k, l1 = l, массивы соединены}
Этот процесс можно пояснить так. Пусть у нас есть две стопки
карточек, отсортированных по алфавиту. Мы соединяем их в одну
стопку, выбирая каждый раз ту из верхних карточек обеих стопок,
которая идет раньше в алфавитном порядке.
1.2.20. Даны два массива x[1] <= ... <= x[k] и y[1] <= ...
<= y[l]. Найти их "пересечение", т.е. массив z[1] <= ... <=
z[m], содержащий их общие элементы, причем кратность каждого
элемента в массиве z равняется минимуму из его кратностей в мас-
сивах x и y. Число действий порядка k+l.
1.2.21. Даны два массива x[1]<=...<=x[k] и y[1]<=...<=y[l]
и число q. Найти сумму вида x[i]+y[j], наиболее близкую к числу
q. (Число действий порядка k+l, дополнительная память - фиксиро-
ванное число целых переменных, сами массивы менять не разрешает-
ся.)
Указание. Надо найти минимальное расстояние между элемента-
ми x[1]<=...<=x[k] и q-y[l]<=..<=q-y[1], что нетрудно сделать в
ходе их слияния в один (воображаемый) массив.
1.2.22. (из книги Д.Гриса) Некоторое число содержится в
каждом из трех целочисленных неубывающих массивов x[1] <= ... <=
x[p], y[1] <= ... <= y[q], z[1] <= ... <= z[r]. Найти одно из
таких чисел. Число действий должно быть порядка p + q + r.
Решение.
p1:=1; q1=1; r1:=1;
{инвариант: x[p1]..x[p], y[q1]..y[q], z[r1]..z[r]
содержат общий элемент }
while not ((x[p1]=y[q1]) and (y[q1]=z[r1])) do begin
| if x[p1] первые
элементы оставшихся частей равны}
while not eq do begin
| s := 1; k := 1;
| {a[s][b[s]] - минимальное среди a[1][b[1]]..a[k][b[k]]}
| while k <> n do begin
| | k := k + 1;
| | if a[k][b[k]] < a[s][b[s]] then begin
| | | s := k;
| | end;
| end;
| {a[s][b[s]] - минимальное среди a[1][b[1]]..a[n][b[n]]}
| b [s] := b [s] + 1;
| for k := 2 to n do begin
| | eq := eq and (a[1][b[1]] = a[k][b[k]]);
| end;
end;
writeln (a[1][b[1]]);
1.2.25. Приведенное решение предыдущей задачи требует по-
рядка m*n*n действий. Придумать способ с числом действий порядка
m*n.
Указание. Придется пожертвовать симметрией и выбрать одну
из строк за основную. Двигаясь по основной строке, поддерживаем
такое соотношение: во всех остальных строках отмечен макси-
мальный элемент, не превосходящий текущего элемента основной
строки.
1.2.26. (Двоичный поиск) Дана последовательность x[1] <=
... <= x[n] целых чисел и число a. Выяснить, содержится ли a в
этой последовательности, т. е. существует ли i из 1..n, для ко-
торого x[i]=a. (Количество действий порядка log n.)
Решение. (Предполагаем, что n > 0.)
l := 1; r := n+1;
{если a есть вообще, то есть и среди x[l]..x[r-1], r > l}
while r - l <> 1 do begin
| m := l + (r-l) div 2 ;
| {l < m < r }
| if x[m] <= a then begin
| | l := m;
| end else begin {x[m] > a}
| | r := m;
| end;
end;
(Обратите внимание, что и в случае x[m] = a инвариант не наруша-
ется.)
Каждый раз r-l уменьшается примерно вдвое, откуда и вытека-
ет требуемая оценка числа действий.
Замечание.
l + (r-l) div 2 = (2l + (r-l)) div 2 = (r+l) div 2.
1.2.27. (Из книги Д.Гриса) Дан массив x: array [1..n] of
array [1..m] of integer, упорядоченный по "строкам" и по
"столбцам":
x[i][j] <= x[i+1][j],
x[i][j] <= x[i][j+1]
и число a. Требуется выяснить, встречается ли a среди x[i][j].
Решение. Представляя себе массив a как матрицу (прямо-
угольник, заполненный числами), мы выберем прямоугольник, в ко-
тором только и может содержаться a, и будем его сужать. Прямо-
угольник этот будет содержать x[i][j] при 1<=i<=l и k<=j<=m.
1 k m
-----------------------------------
1| |***********|
| |***********|
| |***********|
l| |***********|
|---------------------------------|
| |
n| |
-----------------------------------
(допускаются пустые прямоугольники при l = 0 и k = m+1).
l:=n; k:=1;
{l>=0, k<=m+1, если a есть, то в описанном прямоугольнике}
while (l > 0) and (k < m+1) and (x[l][k] <> a) do begin
| if x[l][k] < a then begin
| | k := k + 1; {левый столбец не содержит a, удаляем его}
| end else begin {x[l][k] > a}
| | l := l - 1; {нижняя строка не содержит a, удаляем ее}
| end;
end;
{x[l][k] = a или прямоугольник пуст }
answer:= (l > 0) and (k < m+1) ;
Замечание. Здесь та же ошибка: x[l][k] может оказаться не-
определенным. (Её исправление предоставляется читателю.)
1.2.28. (Московская олимпиада по программированию) Дан не-
